Matematika

Elips

Elips
Gambar 1. Metode tukang kebun untuk menggambar elips. Jumlah jarak antara titik p dari elips (berwarna merah) dan lampu sorot (hitam), tetap konstan. Sumber: Ag2gaeh, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons.

Apa itu elips?

Elips adalah seperangkat titik koordinat (x, y), yang jumlah jaraknya menjadi dua titik tetap, disebut Fokus, itu konstan. Pada gilirannya, lampu sorot dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan 2c.

Elips ditemukan di alam. Misalnya, ada dalam gerakan bumi di sekitar matahari, karena seperti yang ditunjukkan oleh Astronom Jerman.

Selain itu, bentuk elips ditemukan dalam desain konstruksi arsitektur, adalah bagian dari perawatan medis untuk menghancurkan perhitungan ginjal dan berfungsi untuk membentuk beragam objek seperti tangki dan wadah lainnya.

Pada gambar atas, elips ditunjukkan dengan dua lampu sorot, terletak sama dengan dari pusat sosok dan pada sumbu terpanjang. Kondisi bahwa suatu titik P harus memenuhi untuk menjadi bagian dari elips adalah bahwa jumlah jarak untuk setiap fokus diperbaiki:

D1 + D2 = konstan.

Karena itu, saat seorang tukang kebun menginginkan. Kemudian ambil tali dengan ukuran yang baik, ikat ujungnya ke taruhannya, dan menopang tongkat di tali meluncur di atasnya untuk menandai alur elips di tanah yang lembut. Ini adalah metode tukang kebun Untuk menggambar elips.

Elemen elips

Elemen utama elips

Ini adalah elemen utama elips:

  1. Fokus, titik tetap yang terletak di sumbu terpanjang dari elips.
  2. Sudut, Mereka adalah dua titik elips yang melaluinya garis lewat yang bergabung dengan lampu sorot.
  3. Sumbu Utama, Itu adalah tali yang bergabung dengan simpul dan juga berisi lampu sorot.
  4. Tengah, Titik tengah sumbu utama, yang sesuai dengan titik koordinat (h, k). Setiap fokus sama dengan dari pusat dan di kejauhan C yang sama.
  5. Sumbu minor, Itu adalah tali yang melewati pusat dan tegak lurus terhadap sumbu utama.
  6. Radio vektor, segmen yang menyatukan setiap fokus dengan p dari elips.
  7. Sumbu fokus, langsung di mana lampu sorot.
  8. Jarak fokus, Itu adalah jarak antara lampu sorot, dilambangkan sebagai 2c.
  9. Sumbu sekunder, Sumbu tegak lurus terhadap sumbu utama, yang pada saat yang sama mediatrix dari segmen yang berikatan dengan lampu sorot.
  10. Pusat Simetri, Titik bertepatan dengan pusat elips, di mana sumbu simetri yang sama dilintasi.
  11. Sumbu Simetri, Garis yang mengandung sumbu elips terbesar dan lebih kecil.
Dapat melayani Anda: pajak

Jenis elips

Ada dua jenis elips:

  • Mereka yang memiliki sumbu utama horizontal.
  • Mereka yang memiliki sumbu vertikal terbesar.

Kemudian mereka digambarkan secara matematis:

Elips dengan sumbu horizontal utama

Biarkan titik C dari koordinat (h, k) pusat elips, panjang sumbu utama adalah 2a dan panjang sumbu yang lebih kecil sama dengan 2b, dengan a> b.

Persamaan elips ini adalah:

Elips dengan sumbu vertikal utama

Dengan parameter elips yang sama dengan sumbu horizontal, elips dengan sumbu vertikal utama ditulis sebagai:

Dalam kedua kasus, jarak dari fokus ke pusat C Ini terkait dengan sedimen mayor dan minor hingga:

C2 = a2 - B2

Contoh elips

Elips horizontal

Gambar berikut menunjukkan elips yang sumbu utamanya horizontal. Pusat berada pada titik (0,0) dan lampu sorot masing-masing (-3.0) dan (3.0). Point P (0, -4) Disorot milik elips.

Gambar 2.- Elips yang sumbu utamanya horizontal. Sumber: f. Zapata melalui Geogebra.

Persamaan elips ini adalah:

16x2 + 25 dan2 = 400

Tidak sulit untuk mengekspresikan persamaan ini dalam bentuk kanonik, cukup untuk membagi semua istilah antara 400 dan menyederhanakan dengan mudah (lihat latihan diselesaikan nanti).

Elips vertikal

Berikut ini adalah elips vertikal, yang sumbu utamanya bertepatan dengan sumbu dan. Ini difokuskan pada titik (0,0) dan persamaannya adalah:

36x2 + 9y2 = 324

Gambar 3.- Elips dengan sumbu vertikal utama. Sumber: f. Zapata melalui Geogebra.

Properti Refleksi

Ini terdiri dari yang berikut: Jika reflektor atau sumber suara ditempatkan di salah satu lampu sorot elips, gelombang yang dipancarkan tercermin ke fokus lainnya. Ini adalah cara yang baik untuk mengarahkan kembali gelombang di mana energi Anda dibutuhkan.

Dapat melayani Anda: endecagon

Itulah sebabnya di ruang elips, ketika seseorang berbicara berada di salah satu lampu sorot, pendengar yang terletak di fokus lain mendengarkan dengan jelas.

Dan dalam pengobatan, sifat refleksi ini digunakan untuk menghancurkan batu ginjal dengan menempatkan pasien di salah satu lampu sorot bak elips penuh air, sedangkan generator gelombang ultrasonik ditempatkan di fokus lainnya. Gelombang tercermin dalam perhitungan dan fragmen dalam partikel yang lebih kecil, yang kemudian dikeluarkan melalui urin.

Radio Ska

Teleskop radio ini adalah yang terbesar dalam jenisnya dan diharapkan mulai bekerja pada tahun 2021. Permukaannya adalah 1 km persegi dan itulah sebabnya disebut ska (dalam bahasa Inggris mereka adalah akronim untuk Array kilometer persegi).

Mengambil keuntungan dari sifat refleksi elips, struktur ini terdiri dari pengaturan 3000 antena dengan bentuk elips selebar 15 m, didistribusikan antara Australia dan Afrika Selatan. Dengan instrumen ini, 50 kali lebih sensitif daripada yang digunakan saat ini, diharapkan untuk melihat alam semesta ketika masih jauh lebih muda: sekitar satu miliar tahun hampir tidak.

Gambar 4.- Interpretasi artistik ska ska ska. Sumber: Wikimedia Commons.

Olahraga diselesaikan

Temukan persamaan kanonik dari elips yang ditunjukkan pada Gambar 2 dan 3 dan dalam setiap kasus menentukan panjang indera yang lebih besar dan lebih kecil, serta jarak fokus.

Larutan

Untuk elips horizontal, yang persamaannya adalah 16x2 + 25 dan2 = 400, semua istilah antara 400 dibagi, hasilnya:

Dapat melayani Anda: Demieve Cotangent: Perhitungan, Demonstrasi, Latihan

 Yang disederhanakan:

Semi -axis "A" mengukur 5 dan sedikit "B" mengukur 4, yang juga diperingatkan dengan mengamati gambar dengan hati -hati. Adapun jarak fokus, Anda harus:

C2 = a2 - B2

C2 = 25 - 16 = 9 ⇒ C = √9 = 3

Oleh karena itu c = 3 adalah jarak antara pusat dan salah satu lampu sorot. Kedua fokus adalah jarak 2c = 6.

Adapun elips vertikal 36x2 + 9y2 = 324 Anda memiliki:

Dengan menyederhanakan:

C2 = 36 - 9 = 27

C = √27 ≅ 5.2

Oleh karena itu jarak antara lampu sorot adalah 10.4 unit.

Referensi

  1. Hoffman, J. Pemilihan masalah matematika. Volume 3.
  2. Stewart, J. 2006. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.
  3. Rumus alam semesta. Elips. Pulih dari: universoformulas.com.
  4. Wikipedia. Array kilometer persegi. Pulih dari: is.Wikipedia.org.
  5. Zill, d. 1984. Aljabar dan Trigonometri. Bukit McGraw.