Karakteristik dan contoh ellipsoid

Dia ellipsoid Ini adalah permukaan dalam ruang yang termasuk dalam kelompok permukaan kuadrat dan yang persamaan umumnya dari bentuk:

Kapak² + Oleh² + CZ² + DXY + EXZ + FYZ + GX + HY + IZ + J = 0

Ini adalah setara dengan elips tiga dimensi, ditandai dengan memiliki jejak elips dan melingkar dalam beberapa kasus khusus. Jejak adalah kurva yang diperoleh saat memotong ellipsoid dengan pesawat.

Gambar 1. Tiga ellipsoids yang berbeda: di atas bola di mana tiga setengah -semi sama, di sebelah kiri spheroid, dengan dua setengah -dan -satu -sumbu dan akhirnya ke kanan, spheroid triaksial, dengan tiga sumbu panjangnya berbeda. Sumber: Wikimedia Commons. Ag2gaEH/CC BYS-S (https: // createveCommons.Org/lisensi/by-sa/4.0)

Selain ellipsoid, ada lima kuadrat lainnya: hiperboloid satu daun dan dua daun, dua jenis paraboloid (hiperbolik dan elips) dan kerucut elips elips. Jejaknya juga berbentuk kerucut.

Ellipsoid juga dapat diekspresikan dengan persamaan standar dalam koordinat cartesian. Sebuah ellipsoid berfokus pada asal (0,0.0) dan diekspresikan dengan cara ini, mengingatkan elips, tetapi dengan istilah tambahan:

Nilai -nilai ke, B Dan C Mereka adalah bilangan real lebih besar dari 0 dan mewakili tiga ellipsoid setengah.

[TOC]

Karakteristik ellipsoid

- Persamaan standar 

Persamaan standar dalam koordinat Cartesian untuk elips yang difokuskan pada poin (H, K, M) adalah:

- Persamaan Parametrik Ellipsoid

Dalam koordinat bola, ellipsoid dapat digambarkan sebagai berikut:

x = dosa θ. cos φ

y = b sin θ. sin φ

Z = c cos θ

Semi -out ellipsoid masih A, B dan C, sedangkan parameternya adalah sudut θ dan φ dari gambar berikut:

Gambar 2. Sistem koordinat bola. Ellipsoid dapat diparameterisasi menggunakan sudut yang ditunjukkan theta dan phi sebagai parameter. Sumber: Wikimedia Commons. Domain Andeggs / pub.

- Jejak ellipsoid

Persamaan umum permukaan dalam ruang adalah f (x, y, z) = 0 dan jejak permukaan adalah kurva:

Dapat melayani Anda: magnitudo vektor

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- Z = C; F (x, y, c) = 0

Dalam kasus ellipsoid, kurva seperti itu adalah elips dan terkadang keliling.

- Volume

Volume V dari ellipsoid diberikan oleh (4/3) π kali produk dari tiga setengah -Semi:

V = (4/3) π. ABC

Kasus ellipsoid khusus

-Ellipsoid menjadi bola ketika semua setengah ukuran adalah ukuran yang sama: a = b = c ≠ 0. Ini masuk akal, karena ellipsoid seperti bola yang telah direntangkan secara berbeda di setiap sumbu.

-Spheroid adalah ellipsoid di mana dua semijes identik dan yang ketiga berbeda, misalnya bisa a = b ≠ c.

Spheroid juga disebut revolution ellipsoid, karena dapat dihasilkan dengan memutar elips di sekitar sumbu.

Jika sumbu belok bertepatan dengan sumbu utama, spheroid adalah prolisi, Tetapi jika itu bertepatan dengan sumbu minor, itu Oblat:

Gambar 3. Spheroid kiri ke kiri dan prolisi spheroid ke kanan. Sumber: Wikimedia Commons.

Ukuran perataan spheroid (eliptisitas) diberikan oleh perbedaan panjang antara dua semi -halaman, dinyatakan dalam bentuk fraksional, yaitu, itu adalah perataan unit, yang diberikan oleh:

F = (a - b) / a

Dalam persamaan ini, A mewakili semi -senije dan b semi -sumbu, ingat bahwa sumbu ketiga sama dengan semua ini untuk spheroid. Nilai F adalah antara 0 dan 1 dan untuk spheroid harus lebih besar dari 0 (jika sama dengan 0 kita hanya akan memiliki bola).

Dapat melayani Anda: Bethelgeuse

Ellipsoid referensi

Planet -planet dan secara umum bintang -bintang, biasanya bukan bidang yang sempurna, karena gerakan rotasi di sekitar kapak mereka yang menepuk tubuh di kutub dan bassinal di Ekuador.

Itulah sebabnya Bumi ternyata seperti spheroid oblate, meskipun tidak dilebih -lebihkan seperti gambar sebelumnya, dan di sisi lain raksasa Saturn Gaseous adalah yang paling pahit dari planet di tata surya.

Jadi cara yang lebih realistis untuk mewakili planet -planet, adalah dengan berasumsi bahwa mereka seperti spheroid atau ellipsoid revolusi, yang semi -semi -major adalah radio khatulistiwa dan semi -sumbu jari -sumbu jari kutub.

Langkah -langkah cermat yang dibuat di dunia telah diizinkan untuk membangun Referensi Ellipsoid Bumi sebagai bentuk yang paling tepat untuk bekerja secara matematis.

Bintang -bintang juga memiliki gerakan rotasi yang memberi mereka lebih banyak atau lebih sedikit bentuk yang diratakan. Bintang Aternar Cepat, bintang paling terang kedelapan di langit malam, di konstelasi selatan Eridanus sangat elips ketika membandingkannya dengan mayoritas. Ini adalah 144 tahun cahaya dari kami.

Di ekstrem lain, beberapa tahun yang lalu para ilmuwan memberi dengan objek paling bulat yang ditemukan sejauh ini: bintang Kepler 11145123, 5000 tahun cahaya, dengan ukuran dua kali lipat dari matahari kita dan perbedaan antara semi -denyut hanya 3 km. Seperti yang diharapkan, itu juga berubah lebih lambat.

Sedangkan untuk bumi, ini bukan spheroid yang sempurna karena permukaannya yang kokoh dan variasi gravitasi lokal. Itulah sebabnya ada lebih dari satu spheroid referensi yang tersedia dan di setiap situs yang paling tepat untuk geografi lokal dipilih.

Itu bisa melayani Anda: apa lembah dalam fisika? (Dengan contoh)

Bantuan satelit sangat berharga dalam menciptakan model yang semakin tepat dari bentuk bumi, berkat mereka diketahui misalnya bahwa Kutub Selatan lebih dekat ke Ekuador daripada Kutub Utara.

Gambar 4. Haumea, planet kerdil Transneptunian memiliki bentuk ellipsoidal. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh numerik

Karena rotasi bumi, gaya sentrifugal dihasilkan yang memberikan bentuk ellipsoid lonjong, bukan bola. Diketahui bahwa radio khatulistiwa bumi adalah 3963 mil dan jari -jari kutub adalah 3942 mil.

Temukan persamaan jejak khatulistiwa, yaitu ellipsoid ini dan ukuran perataannya. Juga bandingkan dengan elips Saturnus, dengan data yang disediakan di bawah ini:

-Radio Khatulistiwa Saturn: 60268 km

-Saturnus Polar Radio: 54364 km

Larutan

Sistem koordinat diperlukan, yang akan kami anggap fokus pada asal (pusat bumi). Kami akan mengasumsikan sumbu z vertikal dan jejak yang sesuai dengan khatulistiwa berada pada bidang xy, setara dengan bidang z = 0.

Di bidang khatulistiwa semi -a dan b adalah sama, oleh karena itu a = b = 3963 mil, sedangkan c = 3942 mil. Ini adalah kasus khusus: spheroid yang berfokus pada titik (0,0,0) seperti yang dinyatakan di atas.

Jejak khatulistiwa adalah lingkaran jari -jari r = 3963 mil, difokuskan pada asal. Itu dihitung dengan melakukan z = 0 dalam persamaan standar:

Dan persamaan standar ellipsoid bumi adalah:

Akhirnya, ukuran penyesuaian (elips) dihitung mengevaluasi dalam persamaan:

F _Tanah = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0.0053

F _Saturnus = (60268-54363) km/60268 km = 0.0980

Perhatikan bahwa elips f adalah jumlah tanpa dimensi.

Referensi

1. ArcGIS untuk desktop. Spheroid dan Spheres. Pulih dari: desktop.Arcgis.com.
2. Dunia BBC. Misteri objek paling bulat yang pernah ditemukan di alam semesta. Diperoleh dari: BBC.com.
3. Larson, r. Perhitungan dan geometri analitik. Edisi Keenam. Volume 2. Bukit McGraw.
4. Wikipedia. Ellipsooid. Diperoleh dari: di.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Siperoid. Diperoleh dari: di.Wikipedia.org.