Fraksi parsial

Metode dekomposisi dalam fraksi parsial digunakan untuk menyelesaikan integral. Sumber: f. Zapata.

Apa itu fraksi parsial?

Metode Fraksi parsial o Fraksi sederhana digunakan dalam perhitungan aljabar dan matematika untuk menguraikan ekspresi rasional, meninggalkan jumlah aljabar dari fraksi yang lebih sederhana.

Menjadi fraksi sederhana tambahan, perhitungan operasi seperti turunan dan integral, antara lain, difasilitasi.

Pertimbangkan ekspresi aljabar rasional berikut, yang terdiri dari polinomial P (x) dan Q (x) di pembilang dan penyebut, masing -masing:

Anda ingin menulis ungkapan ini sebagai jumlah pecahan yang lebih kecil. Untuk melakukan ini, perlu dicatat bahwa q polinomial (x) dalam denominator adalah trinomial persegi, yang dapat menjadi faktor cepat, sebagai produk dari dua faktor:

X²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Oleh karena itu, ungkapan sebelumnya tetap sebagai berikut:

Mengetahui jumlah pecahan, cara menulis ekspresi ini dengan mudah mengarah pada yang lain:

Masih menemukan nilai A dan B, sehingga ekspresi asli dinyatakan sebagai jumlah dari dua fraksi yang lebih kecil ini. Untuk contoh yang ditunjukkan, nilainya adalah: a = 3 dan b = 2, dan pembaca dapat mengkonfirmasi bahwa, pada dasarnya, jumlah:

Itu setara dengan ekspresi asli:

Mengingat bahwa:

Bagaimana fraksi parsial dihitung?

Ada metode untuk perhitungan koefisien yang harus masuk dalam pembilang fraksi sederhana, yang tergantung pada bentuk ekspresi rasional asli, yaitu, pada bentuk p (x)/q (x).

Pertama -tama, harus diingat bahwa, ketika derajat p (x) kurang dari q (x), itu adalah a memiliki ekspresi rasional, Dan jika sebaliknya terjadi, itu adalah a Ekspresi rasional yang tidak tepat.

Metode untuk terurai dalam fraksi sederhana mengacu pada ekspresi aljabar mereka sendiri, jika tidak, mereka harus dikurangi terlebih dahulu, melaksanakan operasi divisi P (x)/q (x).

Itu dapat melayani Anda: identitas trigonometri (contoh dan latihan)

Kemudian, tujuannya adalah untuk menemukan pembilang dari masing -masing fraksi, yang empat kasus dibedakan, yang tergantung pada faktorisasi penyebut Q (x).

Kasus 1: Faktor -faktor Q (x) linier dan tidak diulangi

Jika faktor Q (x) linier dan tidak diulang, yaitu, mereka dari bentuk (x-a_yo):

Q (x) = (x -a₁)(untuk₂)… (untuk_N)

Dengan₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_N, Artinya, semua faktor q (x) berbeda, ekspresi rasional ditulis sebagai:

Nilai a₁, KE₂, KE₃… KE_N, Mereka harus ditentukan. Ekspresi rasional yang ditunjukkan pada awalnya adalah contoh dari kasus ini.

Kasus 2: Q (x) telah berulang faktor linier

Jika q (x) terdiri dari faktor berulang dari bentuk (x - a)^N, Dengan N ≥ 2, dekomposisi dalam fraksi parsial dilakukan sebagai berikut:

Seperti dalam kasus sebelumnya, koefisien harus ditentukan oleh prosedur aljabar.

Kasus 3: Q (x) memiliki faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi

Jika dengan memperhitungkan Q (x), faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi muncul, dari bentuk kapak²+BX+C, untuk faktor ini, dalam dekomposisi harus dimasukkan, penambahan dengan formulir ini:

Nilai A dan B harus ditemukan.

Kasus 4: Q (x) memiliki faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi dan berulang

Dengan asumsi bahwa faktorisasi Q (x) mengandung faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi dan berulang²+Bx+c)^N, Addor berikut harus disertakan:

Seperti biasa, koefisien yang diperlukan harus dihitung. Contoh di bawah ini menunjukkan prosedur aljabar yang diperlukan.

Contoh fraksi parsial

Contoh 1

Ekspresi rasional berikut:

Itu sudah datang dengan penyebut faktorisasi, yang terdiri dari dua faktor linier yang tidak diulang, jadi Q (x) adalah:

Q (x) = (x+2) (x --1)

Kemudian, dekomposisi dalam fraksi parsial yang dicari sesuai dengan Kasus 1, dapat menulis:

Untuk menemukan nilai masing -masing dari A dan B, jumlah kesetaraan dilakukan:

Dapat melayani Anda: elips

Menyamakan pembilang:

A (x - 1) + B (x + 2) = 3x

Menerapkan properti distributif dan mengelompokkan persyaratan serupa:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Koefisien (A+B) sama dengan 3, karena keduanya menyertai, di kedua sisi kesetaraan, dengan istilah yang berisi "x". Untuk bagiannya, koefisien (−A+2b) sama dengan 0, karena ke kanan kesetaraan tidak ada istilah serupa lainnya.

Sistem dua persamaan berikut dengan dua tidak diketahui kemudian dibentuk:

A+b = 3
−a+2b = 0

Yang solusinya adalah:

A = 2
B = 1

Karena itu:

Pembaca dapat memeriksa kesetaraan, melaksanakan jumlah bagian di sebelah kanan.

Contoh 2

Dalam ungkapan lain ini:

Juga faktor -faktor, penampilan istilah yang diulang (x+1) diamati², Selain istilah linier (x+2). Dalam hal ini, dekomposisi dalam fraksi parsial, seperti yang ditunjukkan dalam kasus 2, adalah:

Untuk menemukan nilai -nilai A, B dan C, jumlah hak dieksekusi, dan hanya pembilang yang digunakan:

Pembilang ekspresi yang dihasilkan sama dengan ekspresi asli, mengembangkan aljabar untuk memisahkan istilah yang sama:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+C (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+C (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Dari hasilnya, sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui A, B dan C:

A + b = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = −3

Solusi sistem adalah:

A = −5
B = 5
C = −4

Dekomposisi dalam fraksi parsial yang diminta adalah:

Olahraga diselesaikan

Bagian ini menunjukkan latihan terselesaikan yang menggambarkan penerapan metode fraksi parsial atau fraksi sederhana, untuk perhitungan integral yang tidak terbatas. Tujuannya adalah untuk menulis integrasi dengan cara yang lebih sederhana.

Setelah ditulis ulang, integral sederhana yang dihasilkan dicari dalam tabel atau diselesaikan dengan perubahan variabel sederhana.

Dapat melayani Anda: latar belakang historis geometri analitik

Itu diminta untuk menghitung integral berikut:

Larutan

Yang pertama adalah memverifikasi bahwa integrasi, memang, adalah ekspresi aljabar rasional sendiri, karena tingkat pembilang kurang dari denominator. Denominatornya dengan mudah menjadi faktor dan tetap:

Oleh karena itu, q (x) adalah:

Q (x) = x (x²+2)

Dan itu terdiri dari istilah linier: x dan istilah kuadratik yang tidak dapat direduksi tidak diulang: x x²+2, oleh karena itu, ini adalah kombinasi dari kasus 1 dan kasus 3. Dekomposisi dalam fraksi parsial dari integrasi adalah:

Membuat jumlah di sebelah kanan kesetaraan:

Seperti biasa, untuk fraksi parsial hanya bekerja dengan pembilang ekspresi jumlah, yang harus selalu sama dengan ekspresi asli:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Mengembangkan:

Kapak² + 2a + bx² + Cx = 2

Mengelompokkan istilah yang sama:

(A+b) x² + Cx + 2a = 2

Sama koefisien istilah yang sama, sistem persamaan yang akan diselesaikan diperoleh, dengan yang tidak diketahui A, B dan C:

A + b = 0
C = 0
2a = 2

Dari persamaan kedua, sudah diketahui bahwa c = 0, dari yang terakhir mengikuti bahwa a = 1, oleh karena itu b = -1, sehingga yang pertama. Dengan nilai -nilai ini diperoleh:

Sekarang diganti dalam integral asli:

Dan dua integral sederhana dengan fungsi dasar diperoleh, ditemukan di tabel atau resolusi cepat.

Ide pertama integral ini adalah dasar:

Dan integral kedua:

Itu diselesaikan dengan perubahan variabel berikut: u = x²+4, DU = 2XDX, memunculkan:

Mengembalikan perubahan variabel:

Akhirnya, mengumpulkan kedua hasil, solusinya ditentukan:

Dua konstanta integrasi masuk dalam satu, disebut C.

Referensi

1. Araujo, f. 2018. Kalkulus integral. Universitas Politeknik Salesian. Editorial Universitas Abya-Yala. Quito, Ekuador.
2. Arcega, r. Integrasi dengan dekomposisi dalam fraksi parsial. Pulih dari: uaeh.Edu.MX.
3. Larson, r. 2012. Prekalkulasi. Ke -8. Edisi. Pembelajaran Cengage.
4. Purcell, e. J. 2007. Perhitungan. 9NA. Edisi. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. 13. Edisi. Pembelajaran Cengage.