Teman atau contoh ramah dan bagaimana menemukannya

Itu Teman atau nomor ramah Ada dua bilangan alami A dan B yang jumlah pembagi salah satu dari mereka (tidak termasuk angka) sama dengan angka lainnya, dan jumlah pembagi ini (tidak termasuk itu juga) sama dengan yang pertama masalah.

Banyak pasangan angka yang berbagi properti aneh ini telah ditemukan. Mereka tidak terlalu kecil, anak di bawah umur 220 dan 284, ditemukan beberapa abad yang lalu. Jadi mari kita berikan mereka sebagai contoh dari apa arti persahabatan yang aneh antara angka ini.

Gambar 1. Pasangan teman 220 dan 284 sudah dikenal selama berabad -abad. Sumber: Pixabay.

Pembagi 220, tidak termasuk 220, adalah: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110. Di sisi lain, para pembagi 284, tidak termasuk 284 adalah: 1, 2, 4, 71 dan 142.

Sekarang kami menambahkan pembagi dari edisi pertama, yaitu 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Kami mengamati bahwa pada dasarnya, jumlahnya adalah 284, nomor teman.

Kemudian para pembagi 284 ditambahkan:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Dan anggota pertama pasangan ini diperoleh.

Matematikawan Yunani Kuno dari Sekolah Pythagoras, didirikan oleh Pythagoras (569-475.C.), Penulis teorema terkenal dengan nama yang sama, berhasil menemukan hubungan aneh antara kedua angka ini, yang dikaitkan dengan banyak kualitas mistis.

Mereka juga dikenal oleh ahli matematika Islam Abad Pertengahan, yang berhasil menentukan formula umum untuk menemukan teman tentang tahun 850 -an di zaman kita.

[TOC]

Formula untuk menemukan teman

Matematikawan Islam Thabit Ibn Qurra (826-901) menemukan cara untuk menghasilkan beberapa nomor teman. Sean P, Q Dan R Tiga bilangan prima, yaitu, angka yang hanya mengakui 1 dan diri mereka sendiri sebagai pembagi.

Setelah memenuhi yang berikut:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2^N - 1

Dapat melayani Anda: akibat wajar (geometri)

R = 9.2^2n-1 - 1

Dengan N Angka yang lebih besar dari 1, lalu:

A = 2^NPQ dan B = 2^NR 

Membuat beberapa teman. Kami akan mencoba formula untuk n = 2 dan melihat beberapa nomor teman yang dihasilkan:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Jadi:

A = 2^NPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2^NR = 2². 71 = 284

Formula matematika abad pertengahan.

Namun, teorema tidak berfungsi untuk semua teman yang ditemukan sejauh ini, hanya untuk n = 2, n = 4 dan n = 7.

Berabad-abad kemudian, ahli matematika Swiss Leonhard Euler (1707-1783) menyimpulkan aturan baru untuk menemukan angka yang ramah, berdasarkan pada Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-m + 1). 2^N - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Seperti biasa, angka P, Q dan R adalah sepupu, tetapi sekarang ada dua eksponen seluruh: M dan N, yang M harus memenuhi kondisi berikut:

1 ≤ m ≤ n-1

Pasangan teman dibentuk dengan cara yang sama:

A = 2^NPQ 

B = 2^NR 

Jika M = N-1 diperoleh lagi teorema Thabit, tetapi seperti halnya dengan teorema matematikawan Islam, tidak semua angka ramah memenuhi aturan Euler. Namun, dengan itu jumlah angka ramah yang diketahui sampai saat itu meningkat.

Berikut adalah pasangan eksponen pertama (M, n) yang dapat digunakan untuk menemukan beberapa angka yang ramah:

(1,2), (3,4), (6.7), (1.8) dan (29.40)

Kemudian, di bagian latihan, kami akan menemukan beberapa nomor ramah yang terbentuk berkat eksponen (3,4) dari aturan Euler.

Contoh nomor teman

-220 dan 284

Dapat melayani Anda: Eksperimen acak: konsep, ruang sampel, contoh

-1184 dan 1210

-2620 dan 2924

-5020 dan 5564

-6232 dan 6368

-10.744 dan 10.856

-12.285 dan 14.595

-17.296 dan 18.416

Tentu saja, lebih banyak pasangan angka ramah dapat dihasilkan oleh komputer.

Cara memecah angka dan menemukan pembagi Anda

Mari kita lihat sekarang bagaimana menemukan pembagi angka, untuk menguatkan jika mereka teman. Menurut definisi angka ramah, semua pembagi dari masing -masing peserta harus dapat menambahkannya, kecuali angka itu sendiri.

Sekarang, bilangan alami dapat dibagi menjadi dua kelompok: bilangan prima dan bilangan majemuk.

Angka primo hanya mengakui sebagai pembagi yang tepat untuk 1 dan diri mereka sendiri. Dan angka -angka yang disusun oleh bagian mereka, selalu dapat dinyatakan sebagai produk bilangan prima dan memiliki pembagi lain, selain dari 1 dan dari diri mereka sendiri.

Angka senyawa apa pun, sebagaimana 220 atau 284, dapat dinyatakan dengan cara ini:

N = a^N . B^M. C^P… R^k

Di mana a, b, c ... r adalah bilangan prima dan n, m, p ... k adalah eksponen milik bilangan alami, yang dapat bernilai dari 1 dan seterusnya.

Dalam hal eksponen ini, ada formula untuk mengetahui berapa banyak (tetapi tidak yang) pembagi memiliki angka n. Biarkan C menjadi jumlah ini:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Setelah angka n diekspresikan dalam hal produk bilangan prima dan diketahui berapa banyak pembagi, Anda sudah memiliki alat untuk mengetahui apa pembagi mereka, baik sepupu maupun non -cousin. Dan perlu bertemu mereka semua untuk memeriksa apakah mereka adalah teman, kecuali yang terakhir, yang merupakan angka itu sendiri.

Latihan terpecahkan

- Latihan 1

Temukan semua pembagi dari beberapa teman 220 dan 284.

Larutan

Pertama kita akan menemukan pembagi utama dari 220, yang merupakan angka majemuk:

Dapat melayani Anda: perkiraan waktu

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Dekomposisi dalam faktor utama 220 adalah:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. sebelas

Oleh karena itu n = 2, m = 1, p = 1 dan memiliki:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 pembagi

Pembagi pertama yang diperingatkan akan dekomposisi jumlahnya adalah: 1, 2, 4, 5 Dan sebelas. Dan mereka juga 110 Dan 55.

5 dari mereka akan hilang, yang membuat produk antara sepupu dan kombinasi mereka: 2².5 = dua puluh;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 dan akhirnya 1 dan miliknya sendiri 220.

Prosedur analog untuk 284 diikuti:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 pembagi

Pembagi ini adalah: 1, 2, 4, 71, 142 dan 284, sebagaimana dinyatakan di awal.

Gambar 2. Dengan metode yang dijelaskan, pasangan ini dapat dianalisis untuk memverifikasi bahwa mereka adalah nomor teman. Sumber: f. Zapata.

- Latihan 2

Periksa rumus Euler untuk n = 4 dan m = 3 menghasilkan daftar bilangan prima (p, q, r) = (23,47, 1151). Apa pasangan teman yang dibentuk dengan mereka?

Larutan

Bilangan prima p, q dan r dihitung oleh:

P = (2^N-m + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-m + 1). 2^N - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Mengganti nilai m = 3 dan n = 4 diperoleh:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Sekarang formula diterapkan untuk menemukan beberapa nomor teman A dan B:

A = 2^NPQ 

B = 2^NR 

A = 2^NPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2^NR = 16. 1151 = 18.416

Dan memang, mereka adalah salah satu dari daftar pasangan pertama nomor teman yang kami tunjukkan sebelumnya.

Referensi

1. Baldor, a. 1986. Hitung. Edisi dan distribusi Codex.
2. Semua tentang bilangan prima. Nomor teman. Pulih dari: perawat.org.
3. Wolfram Mathworld. Aturan Euler. Dipulihkan dari: MathWorld.Wolfram.com.
4. Wikipedia. Angka damai. Diperoleh dari: di.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Nomor teman. Pulih dari: is.Wikipedia.org.