Trinomial

Trinomial adalah polinomial dengan tiga istilah. Sumber: f. Zapata.

Apa itu trinomial?

Trinomial adalah polinomial yang terdiri dari jumlah yang ditunjukkan dari tiga istilah yang berbeda, yaitu, dibangun secara aljabar tiga monomial dari derajat yang berbeda, baik satu atau lebih variabel. Mereka adalah polinomial yang sangat umum di aljabar.

Beberapa contoh trinomial adalah sebagai berikut:

• X² + 5x - 3 (kelas 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial Kelas 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial Tingkat Absolut 3, Kelas 3 dalam X dan Kelas 2 dalam Y)

Yang pertama dan kedua dari trinomial ini adalah dari variabel tunggal, dalam hal ini variabel "x", sedangkan trinomial ketiga adalah dua variabel "x" dan "y".

Contoh trinomial

Ada beberapa jenis trinomial yang disajikan dalam banyak aplikasi, di antaranya adalah:

Trinomial persegi yang sempurna

Trinomial persegi yang sempurna diperoleh saat mengembangkan kuadrat dari jumlah atau kuadrat dari perbedaan dalam istilah. Kedua perkembangannya dikenal sebagai Produk yang luar biasa.

Pertama -tama Anda memiliki kuadrat dari jumlah: (a + b)². Saat mengembangkan ekspresi ini Anda dapatkan:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ B + B ∙ A + B²

Dua istilah pusat identik dan dikurangi menjadi 2A ∙ B, oleh karena itu:

(A + B)² = a² + 2a ∙ b + b²

Trinomial a² + 2a ∙ b + b² Berisi dua kotak sempurna: a² dan B², sedangkan istilah yang tersisa sama dengan produk ganda dari dua istilah binomial asli.

Kotak perbedaan adalah trinomial yang mirip dengan yang sebelumnya, kecuali untuk tanda negatif yang mempengaruhi produk ganda dari ketentuan binomial asli:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Sekali lagi istilah yang sama dikurangi menjadi satu istilah dan diperoleh itu:

Dapat melayani Anda: Teorema Moivre

(A - b)² = a² - 2a ∙ b + b²

Tidak mungkin lagi mengurangi hasilnya.

Produk -produk penting yang mudah dihafal ini, mengaitkan trinomial persegi yang sempurna dengan kuadrat dari binomial yang sesuai, misalnya:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Perlu dicatat bahwa tidak semua trinomial persegi yang sempurna adalah variabel atau kelas 2. Berikut adalah contoh dari jenis trinomial ini dengan dua dan lebih banyak variabel dan juga dengan derajat 2 yang berbeda:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + dan²
• (2z² + Dan)² = 4z⁴ + 4 ∙ z²dan + dan²
• (5xy³ - z)² = 25x²Dan⁶ - 10 XY³z + z²

Trinomial bentuk x² + BX + C

Dalam trinomial ini hanya satu dari istilah yang sempurna persegi, dalam hal ini adalah x² dan koefisien numeriknya adalah 1. Istilah b⋅x berikut adalah linier dan istilah terakhir adalah istilah independen. Contoh trinomial semacam ini adalah:

• X² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• Dan² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• M² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinomial bentuk kapak² + BX + C

Ini menyerupai yang sebelumnya, kecuali bahwa koefisien istilah kuadrat berbeda dari 1, seperti dalam trinomial ini:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ M + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Faktorisasi trinomial

Operasi aljabar yang sangat sering adalah faktorisasi trinomial, yang terdiri dari menulisnya sebagai produk dari berbagai faktor 1. Ada prosedur khusus untuk masing -masing trinomial yang dijelaskan.

Faktorisasi trinomial persegi yang sempurna

Mereka dapat diperkenalkan dengan inspeksi dari produk terkenal:

(A + B)² = a² + 2a ∙ b + b²

(A - b)² = a² - 2a ∙ b + b²

Langkah -langkah untuk memperhitungkan trinomial persegi yang sempurna adalah:

1.- Pastikan bahwa trinomial berisi dua kotak sempurna² dan B², Kedua istilah harus didahului dengan tanda yang sama, biasanya tanda +. Jika keduanya didahului dengan tanda - ini bisa menjadi faktor tanpa masalah.

Dapat melayani Anda: trinomial persegi yang sempurna

2.- Tentukan nilai a dan b dengan mengekstraksi akar kuadrat a² dan B².

3.- Menguatkan bahwa istilah ketiga adalah produk ganda dari a dan b.

Faktorisasi trinomial dari bentuk x² + BX + C

Ini adalah trinomial dengan istilah kuadratik yang unik, untuk memperhitungkannya ditulis sebagai dua produk binomial:

X² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Dimana r dan s adalah dua angka untuk ditentukan.

Perhatikan bahwa ketika mengembangkan sisi kanan, melalui properti distributif, diperoleh:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Jadi, sehingga ungkapan ini mencerminkan trinomial asli, angka U dan V harus memenuhi kondisi berikut:

R ∙ S = C
R + s = b

Beberapa trinomial dari bentuk x² + BX + C tidak mengakui faktorisasi dengan metode ini, namun mereka dapat menjadi faktor dengan bantuan formula umum atau formula pelarut.

Faktorisasi trinomial dari bentuk kapak² + BX + C

Prosedur untuk memperhitungkan jenis trinomial ini adalah:

1. Melipatgandakan dan membagi trinomial dengan koefisien "a"
2. Membuat produk antara "A" dan istilah pertama dan ketiga dari trinomial, meninggalkan produk tanpa membuat istilah kedua.
3. Prosedur yang dijelaskan pada bagian sebelumnya diterapkan pada trinomial, yaitu, ditulis sebagai produk dari dua binomial, tetapi dalam hal ini istilah pertama dari masing -masing binomial bukan "x", tetapi "a ∙ x".
4. Dua N angka R dan S dicari bahwa A ∙ C = R ∙ S dan juga R + S = B
5. Akhirnya, binomial yang, lihat latihan diselesaikan 3 disederhanakan sejauh mungkin.

Latihan terpecahkan

Latihan 1

Temukan trinomial yang dihasilkan saat mengembangkan produk luar biasa berikut: (4x - 3y)²

• Larutan

Formula produk terkenal untuk kuadrat perbedaan diterapkan, menghasilkan:

Itu dapat melayani Anda: koordinat persegi panjang: contoh dan latihan diselesaikan

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Latihan 2

Faktanya trinomial berikut:

X² +  5x + 6

• Larutan

Ini merupakan trinomial dari bentuk x² + Bx + c, dengan b = 5 dan c = 6, sehingga Anda dapat mencoba untuk memperhitungkan prosedur yang dijelaskan di atas. Untuk melakukan ini, Anda harus menemukan dua angka R dan S yang dikalikan diperoleh 6 dan ditambahkan dalam 5:

R ∙ S = 6 dan R + S = 5.

Jumlah yang dicari adalah R = 3 dan S = 2, karena mereka memenuhi kondisi ini, oleh karena itu:

X² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Dibiarkan sebagai latihan bagi pembaca untuk memverifikasi bahwa mengembangkan sisi kanan mudah dicapai ke trinomial asli.

Latihan 3

Faktorisasi 3x² - 5x - 2.

• Larutan

Ini adalah trinomial dari bentuk kapak² + bx + c, dengan a = 3, b = −5 dan c = −2. Prosesnya adalah:

-Kalikan dan Bagilah dengan A = 3:

Buat produk "A" untuk istilah pertama dan ketiga, meninggalkan produk yang ditunjukkan dengan istilah kedua:

Sekarang Anda harus menulis dua produk binomial, yang istilah pertamanya adalah 3x dan mencari dua angka R dan S sedemikian rupa sehingga:

• Saat dikalikan −6
• Dan saat ditambahkan secara aljabar diperoleh −5

Angka -angka ini adalah R = −6 dan S = 1:

Akhirnya, produk binomial yang dihasilkan disederhanakan:

Latihan yang diusulkan

Faktor trinomial berikut: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Referensi

1. Baldor. 1977. Aljabar Dasar. Edisi Budaya Venezuela.
2. Jiménez, r. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.
4. Zill, d. 1984. Aljabar dan Trigonometri. 1st. Edisi. Bukit McGraw.
5. Zill, d. 2008. Prekcculment dengan kemajuan perhitungan. 4. Edisi. Bukit McGraw.