Formula Harapan Matematika, Properti, Contoh, Latihan

Itu Harapan Matematika atau nilai yang diharapkan dari variabel acak X, itu dilambangkan sebagai E (x) dan didefinisikan sebagai jumlah produk antara probabilitas peristiwa acak dan nilai peristiwa tersebut.

Dalam bentuk matematika itu dinyatakan sebagai berikut:

μ = e (x) = ∑ x_yo. P (x_yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Gambar 1. Harapan matematika banyak digunakan di pasar saham dan bidang asuransi. Sumber: Pixabay.

Dimana x_yo Itu adalah nilai acara dan p (x_yo) probabilitas kejadiannya. Penjumlahan meluas ke semua nilai yang diterima x. Dan jika ini terbatas, ringkasan menunjukkan konvergen ke nilai e (x), tetapi jika jumlahnya tidak bertemu, maka hanya variabel yang tidak memiliki nilai yang diharapkan.

Ketika datang ke variabel kontinu X, Variabel dapat memiliki nilai tak terbatas dan integral menggantikan ringkasan:

Di sini f (x) mewakili fungsi kepadatan probabilitas.

Secara umum, harapan matematika (yang merupakan rata -rata tertimbang) tidak sama dengan aritmatika atau rata -rata rata -rata, kecuali jika itu adalah distribusi diskrit di mana setiap peristiwa sama -sama mungkin. Jadi, dan hanya dengan:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_yo

Dimana n adalah jumlah nilai yang mungkin terjadi.

Konsep ini sangat berguna di pasar keuangan dan perusahaan asuransi, di mana kepastian sering kurang tetapi mungkin.

[TOC]

Sifat harapan matematika

Di antara sifat paling penting dari harapan matematika adalah sebagai berikut:

- Tanda: Jika x positif, maka e (x) juga akan.

- Nilai yang diharapkan dari konstan: Nilai yang diharapkan dari konstanta nyata k Itu adalah konstan.

E (k) = k

- Linearitas dalam jumlah: Harapan variabel acak yang pada gilirannya jumlah dua variabel x y y adalah jumlah harapan.

Dapat melayani Anda: pasangan tertib

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Penggandaan dengan konstan: Jika variabel acak terbentuk KX, Di mana k Ini adalah konstanta (bilangan real), itu keluar dari nilai yang diharapkan.

E (kx) = k e (x)

- Nilai yang diharapkan dari produk dan independensi antar variabel: Jika variabel acak adalah produk dari variabel acak x y y, yang independen, maka nilai yang diharapkan dari produk adalah produk dari nilai yang diharapkan.

MANTAN.Y) = e (x).HAI)

- Variabel acak Y = kapak + b: Properti sebelumnya sedang diterapkan.

E (AX + B) = AE (X) + E (B) = AE (X) + B

Secara umum, ya Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_yo). P [g (x_yo)]

- Pesanan dalam nilai yang diharapkan: Ya x ≤ y, lalu:

E (x) ≤ e (y)

Karena ada nilai yang diharapkan dari masing -masing.

Harapan Matematika dalam Taruhan

Ketika astronom terkenal Christian Huygens (1629-1695) tidak mengamati surga, ia berdedikasi untuk belajar, di antara disiplin ilmu lainnya, probabilitas dalam perjudian. Dialah yang memperkenalkan konsep harapan matematika dalam karyanya tahun 1656 yang berjudul: Alasan tentang perjudian.

Gambar 2. Christiaan Huygens (1629-1625) adalah seorang ilmuwan yang brilian dan serbaguna, kepada siapa kita berutang konsep nilai yang diharapkan.

Huygens menemukan bahwa taruhan dapat diklasifikasikan dalam tiga cara, sesuai dengan nilai yang diharapkan:

-Game dengan keuntungan: e (x)> 0

-Taruhan wajar: e (x) = 0

-Game Kerugian: E (x) < 0

Masalahnya adalah dalam permainan kebetulan harapan matematika tidak selalu mudah dihitung. Dan ketika Anda bisa hasilnya terkadang mengecewakan bagi mereka yang bertanya apakah akan bertaruh atau tidak.

Mari berupaya dengan taruhan sederhana: wajah atau salib dan yang kalah membayar kopi $ 1. Berapa nilai yang diharapkan dari taruhan ini?

Dapat melayani Anda: apa pedomannya? (Geometri)

Nah, probabilitas menjadi mahal adalah ½, seperti halnya salib keluar. Variabel acak adalah memenangkan $ 1 atau kehilangan $ 1, keuntungan dilambangkan dengan tanda + dan kerugian dengan tanda -.

Kami mengatur informasi dalam tabel:

Kami melipatgandakan nilai kolom: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ dan akhirnya hasilnya ditambahkan. Jumlahnya 0 dan ini adalah permainan yang adil, di mana peserta diharapkan menang atau kalah.

Roulette dan Lotere Prancis adalah permainan dengan kerugian di mana sebagian besar traigator kalah. Nanti ada taruhan yang sedikit lebih kompleks di bagian latihan terpecahkan.

Contoh 

Berikut adalah beberapa contoh sederhana di mana konsep harapan matematika intuitif dan mengklarifikasi konsepnya:

Contoh 1

Kami akan mulai dengan meluncurkan dadu yang jujur. Berapa nilai peluncuran yang diharapkan? Nah, jika dadu jujur ​​dan memiliki 6 wajah, probabilitas bahwa nilai apa pun (x = 1, 2, 3 ... 6) Meninggalkan 1/6, seperti ini:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Gambar 3. Pada peluncuran dadu yang jujur, nilai yang diharapkan bukanlah nilai yang mungkin. Sumber: Pixabay.

Nilai yang diharapkan dalam kasus ini sama dengan rata -rata, karena setiap wajah memiliki probabilitas yang sama untuk keluar. Tapi E (x) bukan nilai yang mungkin, karena tidak ada wajah yang bernilai 3.5. Ini sangat dimungkinkan dalam beberapa distribusi, meskipun dalam hal ini hasilnya tidak banyak membantu taruhan.

Mari kita lihat contoh lain dengan peluncuran dua koin.

Contoh 2

Dua koin jujur ​​dilemparkan ke udara dan menentukan variabel acak x sebagai jumlah wajah yang diperoleh. Peristiwa yang dapat terjadi adalah sebagai berikut:

Dapat melayani Anda: 90 pembagi: Apa itu dan penjelasan

-No Face Out Out: 0 Wajah yang sama dengan 2 Salib.

-1 wajah dan 1 segel atau salib keluar.

-2 wajah keluar.

Biarkan C menjadi wajah dan segel, ruang sampel yang menggambarkan peristiwa ini adalah sebagai berikut:

S_M = Seal-iso; SEAL-CARA; Wajah-yel; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Kemungkinan peristiwa terjadi adalah:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Tabel dibangun dengan nilai yang diperoleh:

Menurut definisi yang diberikan di awal, harapan matematika dihitung sebagai:

μ = e (x) = ∑ x_yo. P (x_yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Mengganti Nilai:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Hasil ini ditafsirkan sebagai berikut: Jika seseorang memiliki cukup waktu untuk melakukan sejumlah besar percobaan yang meluncurkan kedua koin, diharapkan untuk mendapatkan wajah di setiap peluncuran.

Namun, kita tahu bahwa rilis di mana 2 perangko keluar sangat mungkin.

Olahraga diselesaikan

Dalam peluncuran dua mata uang jujur, taruhan berikut dibuat: jika 2 wajah keluar, mereka mendapatkan $ 3, jika 1 wajah dimenangkan, tetapi jika dua perangko keluar, Anda harus membayar $ 5. Hitung keuntungan yang diharapkan dari taruhan.

Gambar 4. Menurut BET, Harapan Matematika berubah dengan meluncurkan dua koin jujur. Sumber: Pixabay.

Larutan

Variabel acak x adalah nilai -nilai yang diambil uang dalam taruhan dan probabilitas dihitung dalam contoh sebelumnya, oleh karena itu tabel taruhan adalah:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Karena nilai yang diharapkan adalah 0, ini adalah permainan yang adil, jadi di sini diharapkan bahwa petaruh tidak menang dan tidak kalah. Namun, jumlah taruhan dapat diubah untuk mengubah taruhan menjadi permainan dengan keuntungan atau permainan dengan kerugian.

Referensi

1. Brase, c. 2009. Statistik yang tidak dapat diatasi. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Pengantar konsep nilai yang diharapkan atau harapan matematika dari variabel acak. Pulih dari: pribadi.kita.adalah.
3. Libretteks statistik. Nilai yang diharapkan dari variabel acak diskrit. Diperoleh dari: Statistik.Librettexts.org.
4. Triola, m. 2010. Statistik dasar. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Probabilitas dan Statistik untuk Sains dan Teknik. Ke -8. Edisi. Pendidikan Pearson.