Contoh dan latihan faktorisasi umum

Itu Faktorisasi umum dari ekspresi aljabar terdiri dalam menentukan dua atau lebih faktor yang produknya sama dengan ekspresi yang diusulkan. Dengan cara ini, mencari faktor umum, proses faktorisasi selalu dimulai.

Untuk ini diamati jika ada keberadaan istilah umum, yang bisa berupa huruf dan angka. Dalam kasus huruf, literal umum diambil sebagai faktor umum untuk semua istilah yang memiliki sedikit eksponen, dan untuk angka, pembagi umum maksimum (MCD) dari semua koefisien dihitung.

Gambar 1. Dalam faktorisasi umum, literal dan koefisien yang umum untuk setiap istilah dicari. Sumber: pixabay/f. Zapata.

Produk dari kedua faktor umum, asalkan berbeda dari 1, akan menjadi faktor umum dari ekspresi. Setelah ditemukan, dengan pembagian setiap istilah antara faktor tersebut, faktorisasi terakhir ditetapkan.

Berikut adalah contoh bagaimana melakukannya, dengan memperhitungkan trinomial ini:

4x⁵-12x³+8x²

Terlihat bahwa semua istilah mengandung "x" literal, yang paling tidak kekuatannya adalah x². Adapun koefisien numerik: 4, -12 dan 8 adalah semua kelipatan dari 4. Oleh karena itu faktor umum adalah 4x².

Setelah faktor ditemukan, setiap istilah ekspresi asli dibagi di antara itu:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Akhirnya, ekspresi ditulis ulang sebagai produk dari faktor umum dan jumlah hasil operasi sebelumnya, seperti ini:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

[TOC]

Bagaimana faktor saat tidak ada faktor umum

Jika faktor umum tidak terbukti seperti pada contoh sebelumnya, masih dimungkinkan untuk memperhitungkan, mengamati ekspresi dengan hati -hati, untuk melihat apakah dimungkinkan untuk mengimplementasikan salah satu metode berikut:

Itu dapat melayani Anda: grafik polybal

Perbedaan dua kotak sempurna

Ini adalah ekspresi binomial bentuk:

ke² - B²

Itu bisa menjadi faktor melalui penerapan produk terkenal:

ke² - B² = (A+B) ⋅ (A-B)

Prosedurnya adalah yang berikutnya:

-Ekstrak pertama akar kuadrat dari masing -masing kotak yang sempurna.

-Kemudian membentuk produk antara jumlah akar ini dan perbedaannya, seperti yang ditunjukkan.

Trinomial persegi yang sempurna

Trinomial bentuk:

X² ± 2a⋅x + a²

Mereka memperhitungkan melalui produk terkenal:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

Untuk menerapkan faktorisasi ini, harus dikuatkan bahwa trinomial yang berlaku memiliki dua kotak sempurna, dan bahwa istilah yang tersisa adalah produk ganda dari akar kuadrat dari nilai -nilai ini.

Trinomial bentuk x² + mx + n

Jika trinomial to factor tidak memiliki dua kotak sempurna, ia dicoba untuk menulisnya sebagai produk dari dua istilah:

X² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Di mana harus dipenuhi kapan pun:

N = A⋅b

M = a+b

Faktorisasi dengan mengelompokkan istilah

Terkadang ekspresi menjadi faktor tidak memiliki faktor yang sama, juga tidak sesuai dengan kasus yang dijelaskan di atas. Tetapi jika jumlah persyaratannya bahkan, prosedur ini dapat dicoba:

-Pasangan kelompok yang memiliki faktor umum.

-Fakting setiap pasangan dengan faktor umum, sehingga istilah dalam tanda kurung adalah sama, yaitu, sehingga pada gilirannya tanda kurung adalah faktor umum. Jika dengan grup yang dipilih bukan, Anda harus mencoba dengan kombinasi lain untuk menemukannya.

-Faktorisasi yang dicari adalah produk dari istilah -istilah dalam tanda kurung untuk faktor -faktor umum dari setiap pasangan.

Contoh yang akan membantu untuk mengklarifikasi kasus yang dibahas.

Contoh

Faktor Ekspresi aljabar berikut:

a) 6ab² - 18²B³

Ini adalah contoh dari faktor umum. Mulai dari bagian literal, huruf A dan B hadir dalam dua istilah. Untuk variabel "A", eksponen minor adalah 1 dan dalam istilah 6ab², sedangkan untuk huruf "B" eksponen minor adalah b².

Dapat melayani Anda: Fungsi Trigonometri Terbalik: Nilai, Derivatif, Contoh, Latihan

Lalu, AB² Itu adalah faktor umum dalam ekspresi asli.

Adapun angka, ada 6 dan -18, yang terakhir adalah kelipatan 6, karena -18 = -(6 × 3). Oleh karena itu 6 adalah koefisien numerik dari faktor umum, yang dikalikan dengan bagian literal adalah:

6ab²

Sekarang setiap istilah asli dibagi dengan faktor umum ini:

• 6ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²B³) ÷ 6ab² = -3AB

Akhirnya, ekspresi asli ditulis ulang sebagai produk antara faktor umum dan jumlah aljabar dari istilah yang ditemukan pada langkah sebelumnya:

6ab² - 18²B³ = 6ab² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

Ekspresi ini adalah perbedaan dari kotak sempurna, jadi, dengan mengekstraksi akar kuadrat ke kedua istilah, masing -masing diperoleh:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Ekspresi asli ditulis sebagai produk dari jumlah akar kuadrat ini dengan perbedaannya:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

Itu adalah trinomial dari bentuk x² + Mx + n, karena 8 bukan kuadrat sempurna dari seluruh bilangan bulat lain, jadi Anda harus menemukan dua angka a dan b sehingga mereka patuh secara bersamaan:

• ke.B = 8
• A + b = 6

Oleh tanteo, yaitu, pengujian, jumlah yang dicari adalah 4 dan 2, sejak:

4 × 2 = 8 dan 4 + 2 = 6

Jadi:

z² + 6z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

Pembaca dapat memeriksa, menerapkan properti distributif di sisi kanan kesetaraan, bahwa kedua ekspresi setara.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Ekspresi ini adalah kandidat untuk faktorisasi dengan mengelompokkan istilah, karena tidak ada faktor umum yang jelas bagi mata telanjang dan juga memiliki beberapa istilah.

Ini dikelompokkan sebagai berikut, mengetahui bahwa urutan penambahan tidak mengubah jumlah:

Dapat melayani Anda: segitiga obtusangle

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Setiap tanda kurung memiliki faktor umum sendiri:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Faktor umum definitif sudah terungkap: itu adalah tanda kurung yang diulang dalam kedua istilah (2x -3y).

Sekarang bisa menjadi faktor lagi:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Karena itu:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Sekali lagi, pembaca dapat menerapkan properti distributif di sebelah kanan kesetaraan, untuk menguatkan kesetaraan.

Latihan terpecahkan

Menguraikan pd pengali:

a) dan² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

D) 3⁴ + ke³ + 15a + 5

Solusi untuk

Ini adalah trinomial persegi yang sempurna, dimulai dengan menemukan akar kuadrat dari istilah persegi yang sempurna:

√ (dan²) = y

√ 25 = 5

Diverifikasi bahwa istilah pusat adalah produk ganda dari keduanya:

10y = 2. 5. Dan

Dan faktorisasi yang dicari adalah:

Dan² - 10y + 25 = (Y-5)²

Solusi b

Ekspresi juga merupakan trinomial persegi yang sempurna:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Istilah pusat diverifikasi:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Akhirnya:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Solusi c

Masalahnya adalah trinomial tipe x² + Mx + n:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

Angka yang sesuai adalah 7 dan -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Solusi d

3⁴ + ke³ + 15a + 5 = (3a⁴ + ke³) + (15a + 5)

Faktor umum (ke -3⁴ + ke³) itu³ dan bahwa (15a + 5) adalah 5, dikelompokkan sebagai berikut:

(3⁴ + ke³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Gambar 2. Latihan faktorisasi untuk berlatih. Sumber: f. Zapata.

Referensi

1. Baldor, a. 2005. Aljabar. Kelompok tanah air budaya.
2. Larson, r. 2012. Prekalkulasi. Ke -8. Edisi. Pembelajaran Cengage.
3. Mathworld. Faktorisasi. Dipulihkan dari: MathWorld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Faktorisasi polinomial. Dipulihkan dari: MathWorld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.
6. Zill, d. 1984. Aljabar dan Trigonometri. Bukit McGraw.