Homotecia

Itu Homotecia Ini adalah perubahan geometris di bidang di mana, dari titik tetap yang disebut pusat (O), jarak dikalikan dengan faktor umum. Dengan cara ini, setiap titik P sesuai dengan titik transformasi lain, dan ini selaras dengan titik atau.

Kemudian, homotecia adalah korespondensi antara dua tokoh geometris, di mana titik yang diubah disebut homotetik, dan ini diselaraskan dengan titik tetap dan dengan segmen paralel satu sama lain.

Penjelasan dan Formula

Homotecia adalah transformasi yang tidak memiliki citra kongruen, karena dari suatu gambar mereka akan memperoleh satu atau lebih angka dengan ukuran yang lebih besar atau lebih kecil dari sosok aslinya; yaitu, homotecia mengubah poligon menjadi serupa lainnya.

Agar homotecia dipenuhi, titik ke titik dan garis lurus harus sesuai, sehingga pasangan titik homolog disejajarkan dengan titik tetap ketiga, yang merupakan pusat homotecia.

Demikian juga, pasangan garis yang bersatu harus paralel. Hubungan antara segmen tersebut adalah konstanta yang disebut homotecia (k) alasan; sedemikian rupa sehingga homotecia dapat didefinisikan sebagai:

Untuk membuat jenis transformasi ini, titik sewenang -wenang dimulai, yang akan menjadi pusat homotecia.

Dari titik ini, segmen garis ditarik untuk setiap simpul gambar yang akan diubah. Skala di mana reproduksi angka baru dibuat diberikan untuk alasan homotecia (k).

Properti Homotecia

Salah satu sifat utama homotecia adalah bahwa, karena alasan homotecia (k), semua tokoh homotetik serupa. Di antara properti luar biasa lainnya adalah sebagai berikut:

Itu dapat melayani Anda: proporsionalitas majemuk: penjelasan, tiga aturan majemuk, latihan

- Pusat Homotecia (O) adalah satu -satunya titik ganda dan mengubah dirinya sendiri; yaitu tidak bervariasi.

- Garis -garis yang melewati pusat menjadi diri mereka sendiri (mereka ganda), tetapi titik -titik yang menyusunnya tidak ganda.

- Garis -garis yang tidak melewati pusat diubah menjadi garis paralel; Dengan cara ini, sudut homotecia tetap sama.

- Gambar segmen oleh homotecia tengah atau dan alasan k, adalah segmen yang sejajar dengan itu dan memiliki waktu yang panjangnya. Misalnya, seperti yang terlihat pada gambar berikut, segmen AB untuk Homotecia akan menjadi segmen A'B lain ', sehingga AB akan sejajar dengan A'B' dan K akan menjadi:

- Sudut homotetik adalah kongruen; yaitu, mereka memiliki ukuran yang sama. Oleh karena itu, gambar sudut adalah sudut yang memiliki amplitudo yang sama.

Di sisi lain, homotecia harus bervariasi tergantung pada nilai alasannya (k), dan kasus -kasus berikut dapat terjadi:

- Jika konstanta k = 1, semua titik diperbaiki karena mereka mengubah diri mereka sendiri. Dengan demikian, sosok homotetik bertepatan dengan yang asli dan transformasi akan disebut fungsi identitas.

- Jika k ≠ 1, satu -satunya titik tetap adalah pusat homotecia (o).

- Jika k = -1, homotecia menjadi simetri sentral (C); Yaitu, rotasi akan terjadi di sekitar C, pada sudut 180^{salah satu}.

- Jika k> 1, ukuran gambar yang diubah akan lebih besar dengan ukuran aslinya.

Dapat melayani Anda: bilangan irasional: sejarah, sifat, klasifikasi, contoh

- Ya 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ya -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ya k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Jenis Homotecia

Homotecia juga dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, tergantung pada nilai alasannya (k):

Homotecia langsung

Terjadi jika konstanta k> 0; Artinya, titik homotetik berada di sisi yang sama sehubungan dengan tengah:

Faktor proporsionalitas atau rasio kesamaan antara angka homotetik langsung akan selalu positif.

Homotecia terbalik

Terjadi jika konstan k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor proporsionalitas atau rasio kesamaan antara angka homotetik terbalik akan selalu negatif.

Komposisi

Ketika beberapa gerakan dilakukan secara berturut -turut sampai sosok yang sama dengan aslinya, komposisi gerakan terjadi. Komposisi beberapa gerakan juga merupakan gerakan.

Komposisi antara dua homotecia menghasilkan homotecia baru; Yaitu, ada produk homotecia di mana pusat akan diselaraskan dengan pusat dua transformasi asli, dan alasan (k) adalah produk dari dua alasan.

Dengan demikian, dalam komposisi dua homotie h₁(SALAH SATU₁, k₁) dan H₂(SALAH SATU₂, k₂), Penggandaan alasan Anda: k₁ x k₂ = 1 akan menghasilkan homotecia alasan k₃ = K₁ x k₂. Pusat homotecia baru ini (atau₃) akan ditempatkan di telepon atau₁ SALAH SATU₂.

Itu dapat melayani Anda: sudut yang berlawanan dengan simpul (dengan latihan terselesaikan)

Homotecia sesuai dengan perubahan datar dan tidak dapat diubah; Jika dua homotecia berlaku yang memiliki pusat dan alasan yang sama tetapi dengan tanda yang berbeda, angka asli akan diperoleh.

Contoh Homotecia

1. Contoh pertama

Oleskan homotecia ke poligon pusat yang diberikan (O), terletak 5 cm dari titik A dan yang alasannya adalah k = 0,7.

Larutan

Titik apa pun dipilih sebagai pusat homotecia, dan dari sini mereka diperdagangkan oleh simpul gambar:

Jarak dari pusat (O) ke titik A adalah OA = 5; Dengan ini Anda dapat menentukan jarak salah satu titik homotetik (OA ') juga mengetahui bahwa k = 0,7:

Oa '= k x oa.

OA '= 0,7 x 5 = 3.5.

Proses ini dapat dilakukan untuk setiap simpul, atau Anda juga dapat menggambar poligon homotetik mengingat bahwa kedua poligon memiliki sisi paralel:

Akhirnya, transformasi dilihat sebagai berikut:

2. Contoh kedua

Oleskan homotecia ke poligon pusat yang diberikan (O), terletak 8,5 cm dari titik C dan yang dan alasan k = -2.

Larutan

Jarak dari tengah (O) ke titik C adalah OC = 8.5; Dengan data ini dimungkinkan untuk menentukan jarak salah satu titik homotetik (OC '), juga mengetahui bahwa k = -2:

Oc '= k x oc.

OC '= -2 x 8.5 = -17

Setelah menggambar segmen simpul poligon yang diubah, titik -titik awal dan homotetika mereka terletak di ujung yang berlawanan sehubungan dengan pusat: