Sifat integral intefined, aplikasi, perhitungan (contoh)

Itu Integral yang tidak terbatas Ini adalah operasi terbalik dari derivasi dan untuk menunjukkannya simbol “S” yang memanjang digunakan: ∫. Secara matematis integral yang tidak terbatas dari fungsi f (x) ditulis:

∫f (x) dx = f (x) + c

Dimana pengintegrasian f (x) = f '(x) adalah fungsi dari variabel X, yang pada gilirannya satu yang berasal dari fungsi lain f (x), yang disebut integral atau antiderivatif.

Gambar 1. Integral yang tidak terbatas adalah salah satu alat yang paling kuat untuk pemodelan matematika. Sumber: Wikimedia Commons. Wallpoper / domain publik.

Pada gilirannya, C adalah konstanta yang dikenal sebagai Integrasi Konstan, yang selalu menyertai hasil integral yang tidak terbatas. Kami akan segera melihat asalnya melalui contoh.

Misalkan mereka meminta kita untuk menemukan integral yang tidak terbatas I berikut ini:

I = ∫x.Dx

Saya segera mengidentifikasi f '(x) dengan x. Ini berarti bahwa kita harus memberikan fungsi f (x) sedemikian rupa sehingga turunannya adalah x, sesuatu yang tidak sulit:

f (x) = ½ x²

Kita tahu bahwa ketika diturunkan f (x) kita dapat ke f '(x), kita memverifikasi:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Sekarang, fungsinya: f (x) = ½ x² + 2 Juga memenuhi persyaratan, karena derivasinya linier dan turunan dari konstanta adalah 0. Fungsi lain yang, ketika diturunkan, menghasilkan f (x) = adalah:

½ x² -1, ½ x² + limabelas; ½ x² - √2…

Dan secara umum semua fungsi formulir:

f (x) = ½ x² + C

Mereka adalah jawaban yang benar untuk masalah tersebut.

Setiap fungsi ini disebut antiderivatif atau primitif dari f '(x) = x dan justru bahwa set semua antiderivatif dari suatu fungsi yang dikenal sebagai integral yang tidak terbatas.

Sudah cukup untuk mengetahui salah satu primitif, karena seperti yang terlihat, satu -satunya perbedaan di antara mereka adalah C konstan integrasi.

Ini dapat melayani Anda: Distribusi Poisson: Rumus, Persamaan, Model, Properties

Jika masalah berisi kondisi awal, dimungkinkan untuk menghitung nilai C untuk beradaptasi dengan mereka (lihat contoh yang diselesaikan nanti).

[TOC]

Cara menghitung integral yang tidak terbatas

Dalam contoh sebelumnya ∫x dihitung.dx karena fungsi f (x) diketahui bahwa ketika diturunkan, itu menghasilkan pengintegrasian.

Itulah sebabnya dari fungsi yang paling terkenal dan turunannya, integral dasar dapat diselesaikan.

Selain itu ada beberapa sifat penting yang memperluas kisaran kemungkinan saat menyelesaikan integral. Menjadi k Bilangan real, maka memang benar bahwa:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x^N Dx = [x^N+1/n + 1] + C (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Tergantung pada integrasi, ada beberapa metode aljabar serta numerik untuk memecahkan integral. Di sini kami menyebutkan:

-Perubahan variabel

-Substitusi aljabar dan trigonometri.

-Integrasi berdasarkan bagian

-Dekomposisi dalam fraksi sederhana untuk mengintegrasikan tipe rasional

-Penggunaan tabel

-Metode numerik.

Ada integral yang dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode. Sayangnya, tidak ada kriteria unik untuk menentukan apriori metode yang paling efektif untuk menyelesaikan integral tertentu.

Faktanya, beberapa metode memungkinkan untuk mencapai solusi integral tertentu lebih cepat daripada yang lain. Tetapi kebenarannya adalah bahwa untuk memperoleh keterampilan dengan memecahkan integral yang harus Anda praktikkan dengan setiap metode.

- Contoh terpecahkan

Menyelesaikan:

Larutan

Mari kita buat perubahan variabel sederhana untuk jumlah subradical:

U = x-3

Dengan:

X = u+3

Turunkan kedua belah pihak pada kedua ekspresi yang Anda dapatkan:

Dx = du

Sekarang kami menggantikan integral, yang akan kami tunjukkan sebagai saya:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Dapat melayani Anda: variabel ordinal

Kami menerapkan properti distributif dan multiplikasi kekuatan basis yang sama, dan diperoleh:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Untuk properti 3 dari bagian sebelumnya:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 du

Sekarang properti 4 diterapkan, yang dikenal sebagai Aturan kekuasaan:

Integral pertama

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Integral kedua

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Kemudian hasilnya bersatu:

I = (2/5) u^5/2  + 2u^3/2  + C

Dua konstanta dapat berkumpul dalam satu tanpa masalah. Akhirnya, kita tidak boleh lupa untuk mengembalikan perubahan variabel yang dilakukan sebelumnya dan mengungkapkan hasilnya dalam hal variabel asli x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Dimungkinkan untuk memperhitungkan hasilnya:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Aplikasi

Integral yang tidak terbatas berlaku untuk berbagai model dalam ilmu alam dan sosial, misalnya:

Gerakan

Dalam solusi masalah pergerakan, untuk menghitung kecepatan ponsel, diketahui akselerasinya dan dalam perhitungan posisi ponsel, mengetahui kecepatannya.

Ekonomi

Saat menghitung biaya produksi dan memodelkan fungsi permintaan, misalnya.

Latihan Aplikasi

Kecepatan minimum yang dibutuhkan oleh objek untuk melarikan diri dari daya tarik gravitasi terestrial diberikan oleh:

Dalam ungkapan ini:

-V adalah kecepatan objek yang ingin melarikan diri dari bumi

-Dan itu adalah jarak yang diukur dari pusat planet ini

-M adalah massa bumi

-G adalah gravitasi konstan

Dapat melayani Anda: distribusi normal: formula, karakteristik, contoh, olahraga

Itu diminta untuk menemukan hubungan antara v Dan Dan, Memecahkan integral yang tidak terbatas, jika objek diberikan kecepatan awal v_{salah satu} Dan jari -jari bumi diketahui dan disebut r.

Gambar 2.- Soyuz satelit buatan. Jika terlalu banyak kecepatan yang disediakan, itu akan lepas dari keparahan Bumi, kecepatan minimum untuk ini terjadi disebut kecepatan knalpot. Sumber: Wikimedia Commons.

Larutan

Kami disajikan dengan dua integral yang tidak terbatas untuk diselesaikan melalui aturan integrasi:

yo₁ = ∫V dv = v²/2 + C₁

yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ dan^-2 dy = -gm [dan^-2+1/(-2 + 1)] + C₂ = GM. Dan^-1 + C₂

Kami sama dengan i₁ dan saya₂:

v²/2 + C₁ = GM. Dan^-1 + C₂

Dua konstanta dapat berkumpul dalam satu:

Setelah integral diselesaikan, kami menerapkan kondisi awal, yang merupakan berikut: Ketika objek berada di permukaan bumi, ia berada pada jarak r dari pusat yang sama. Dalam pernyataan itu mereka memberi tahu kami bahwa itu adalah jarak yang diukur dari pusat bumi.

Dan hanya berada di permukaan adalah bahwa kecepatan awal disediakan yang akan luput dari daya tarik gravitasi planet ini. Oleh karena itu kita dapat menetapkan bahwa v (r) = v_{salah satu}. Dalam hal ini, tidak ada yang mencegah kita dari mengganti kondisi ini dalam hasil yang baru saja kita peroleh:

Dan sejak v_{salah satu} Dikenal, dan begitu juga G, M dan R, kita dapat menghapus nilai konstanta integrasi C:

Yang dapat kita ganti dalam hasil integral:

Dan akhirnya kami membersihkan v², memperhitungkan dan mengelompokkan dengan benar:

Ini adalah ekspresi yang menghubungkan kecepatan v dari satelit yang telah menembak dari permukaan planet (jari -jari R) dengan kecepatan awal vo, Saat berada di kejauhan Dan dari pusat planet ini.

Referensi

1. Haeussler, e. 1992. Matematika untuk Administrasi dan Ekonomi. Grup Editorial Iberoamerica.
2. Hyperphysics. Kecepatan melarikan diri. Pulih dari: hthyperphysics.Phy-astr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Perhitungan variabel. 9NA. Edisi. Bukit McGraw.
4. Purcell, e. 2007. Perhitungan dengan geometri analitik. 9NA. Edisi. Pendidikan Pearson.
5. Wolfram Mathworld. Contoh integral. Dipulihkan dari: MathWorld.Wolfram.com.