Hirarki Operasi

Hierarki operasi matematika. Sumber: f. Zapata.

Apa hierarki operasi?

Itu Hirarki Operasi Matematika terdiri dari serangkaian aturan yang menetapkan prioritas operasi yang berbeda dalam perhitungan. Beberapa operasi harus dilakukan terlebih dahulu dan yang lain nanti, untuk menjamin hasil yang benar.

Adalah umum bahwa dalam perhitungan yang sama ada simbol pengelompokan, jumlah, pengurangan, multiplikasi, divisi dan kekuatan, dan kemudian layak untuk ditanyakan mana dari mereka yang dimulai.

Misalnya, dalam operasi berikut:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)²

Bagian mana yang dibuat terlebih dahulu?

Untuk menghindari ambiguitas, ahli matematika telah menetapkan bahwa setiap operasi memiliki tingkat atau hierarki yang berbeda yang menunjukkan urutan realisasinya, meskipun perhitungan yang sama tidak selalu mengandung semua level.

Dalam contoh yang diusulkan, operasi pertama adalah untuk menghilangkan tanda kurung, menyelesaikan operasi yang ditunjukkan di dalamnya dan kemudian melaksanakan kuadrat, kemudian melakukan perkalian dan akhirnya jumlahnya:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Dengan sedikit latihan dan beberapa memori membantu tidak sulit untuk selalu mendapatkan hasil yang benar dalam operasi matematika apa pun.

Tingkat Operasi: Pemdas

Hirarki operasi terdiri dari 4 level:

• Tingkat pertama:  PArmentesis dan tanda -tanda pengelompokan lainnya (jika ada)
• Tingkat kedua: DANXponents dan akar
• Level ketiga: MUltiplications dan DIvisi
• Level Keempat:  KEDikte dan SPengguna

Perhatikan bahwa inisial dari setiap operasi disorot dalam huruf tebal: P-e-md-as membentuk kata PEMDAS.

Kata ini berfungsi sebagai pengingat untuk urutan operasi mana.

Setelah hierarki ditetapkan, serangkaian indikasi akan diberikan untuk bekerja dengan tanda -tanda pengelompokan dan akhirnya banyak contoh dan latihan terselesaikan yang mengklarifikasi setiap titik yang dijelaskan.

Operasi dengan dan tanpa tanda -tanda pengelompokan

Untuk melakukan operasi dengan dan tanpa tanda -tanda pengelompokan, indikasi ini harus diingat:

• Simbol atau tanda -tanda pengelompokan digunakan untuk memfasilitasi perhitungan, mengekspresikan urutan tertentu untuk setiap operasi. Itu dimulai dengan menyelesaikan operasi yang terkandung dalam tanda paling internal, yang biasanya merupakan tanda kurung, maka yang mengikuti dan akhirnya yang paling luar. Tanda grup yang paling banyak digunakan adalah: tanda kurung (), kurung [] dan tombol .
• Setiap saat, hukum tanda -tanda harus diperhitungkan dan berlaku sesuai dengan jenis operasi yang dilakukan:
  • Sekelompok grup yang didahului oleh tanda + dihilangkan tanpa perlu mengubah tanda -tanda konten. Contoh: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Ketika tanda -tanda grup yang didahului oleh tanda akan dihilangkan - Anda harus mengubah tanda -tanda konten. Contoh: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Simbol Cruz "×" dan tinggi sedang "∙".
• Jika kelompok tanda kurung muncul tanpa tanda di antara mereka, itu adalah penggandaan, atau jika angka di sebelah tanda kurung muncul, ia melipatgandakan konten. Contoh: (−5) (4) = −20 dan 7 (5+1) = 42.
• Untuk penggandaan dan pembagian, hukum tanda -tanda menetapkan bahwa:
  • Produk atau rasio dua jumlah tanda yang sama selalu positif. Contoh: (−3) × (−4) = 12
  • Saat Anda memiliki produk atau rasio dua jumlah tanda yang berbeda, hasilnya selalu negatif. Contoh: (−48) ÷ 6 = −8
• Ketika operasi tidak memiliki tanda -tanda pengelompokan, pesanan ini diikuti: Pertama eksponen dan akar diselesaikan jika ada, maka perkalian dan divisi dan akhirnya jumlah dan pengurangan.
• Operasi yang memiliki hierarki yang sama dilakukan dari kiri ke kanan.

Dapat melayani Anda: Kuota Pengambilan Sampel: Metode, Keuntungan, Kekurangan, Contoh

Contoh langkah demi langkah

Contoh Penggunaan Hirarki Operasi Aritmatika Untuk Menyelesaikan Operasi

Contoh 1: Operasi tanpa Tanda Pengelompokan

Selesaikan operasi berikut tanpa tanda -tanda pengelompokan:

a) 3 + 5 - 4 + 14

Operasi ini hanya terdiri dari jumlah dan pengurangan, yang berada pada tingkat yang sama dan dapat bekerja secara bersamaan, misalnya:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) −8 + 3 × 4 + 31

Di sini perkalian 3 × 4 = 12 harus diselesaikan terlebih dahulu, maka kami melanjutkan untuk menambahkan hasil apa dari itu:

−8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ - 44 + 2

Operasi berisi daya, jadi diselesaikan pertama 3³ = 27 dan kemudian hasil apa:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 −4² + 10 ÷ 2 - 26

Operasi ini berisi daya, perkalian, pembagian dan pengurangan. Kekuatan 4² = 16 Goes First:

4 × 3−4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26

Kemudian ikuti perkalian dan Divisi 4 × 3 = 12 dan 10 ÷ 2 = 5

4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12−16 + 5 - 26

Dan hasilnya ditambahkan:

12−16 + 5 - 26 = - 25

Contoh 2: Operasi dengan tanda -tanda pengelompokan

Selesaikan operasi berikut dengan simbol pengelompokan, dengan mempertimbangkan bahwa operasi yang melampirkan simbol harus terlebih dahulu dilakukan dan kemudian menerapkan hukum tanda -tanda tersebut.

a) 4 × 2 (3+6) ÷ 3

Tanda kurung harus dihilangkan terlebih dahulu. Saat menyelesaikan operasi yang berisi simbol, itu diperoleh:

4 × 2 (3+6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

Dengan cara ini operasi dengan produk dan hasil bagi diperoleh. Perhatikan bahwa 2 yang mendahului tanda kurung juga melambangkan suatu produk, meskipun simbol multiplikasi tidak muncul, oleh karena itu dapat ditulis:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Operasi ini memiliki prioritas yang sama, sehingga mereka diselesaikan pada saat yang sama, mulai dari kiri ke kanan:

Dapat melayani Anda: Fungsi terhuyung -huyung: Karakteristik, contoh, latihan

= 72 ÷ 3 = 24

b) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Di sini operasi dilakukan dalam tanda kurung dan menghitung daya:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Kemudian divisi yang ditunjukkan dilakukan:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Akhirnya jumlah dan pengurangan:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

Dalam operasi ini tanda kurung pertama kali diselesaikan, karena ini adalah simbol kelompok paling internal:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]

Sekarang ada kekuatan di dalam braket, yang melibatkan bilangan bulat negatif. Diketahui bahwa jika basisnya negatif dan eksponennya aneh hasilnya negatif, jadi yang paling nyaman adalah menyelesaikan operasi ini:

4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Maka hukum tanda diterapkan pada hasil bagi (−8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 dan berikut ini tetap:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

Pada langkah berikutnya braket dihilangkan, memperhatikan bahwa itu didahului oleh tanda negatif, yang berarti bahwa konten tanda -tanda di braket harus berubah:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Diamati bahwa ada divisi di braket yang belum dilakukan dan harus dieksekusi, karena kunci, sebagai simbol pengelompokan, menunjukkan bahwa operasi ini memiliki prioritas:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

Dapat melayani Anda: produk terkenal

Sekali lagi, operasi antara tombol memiliki prioritas:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Karena tidak ada simbol antara 4 dan jumlah antara tombol, itu adalah penggandaan:

4 - 17 = - 68

Latihan terpecahkan

Tentukan hasil operasi berikut:

a) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10-22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Solusi untuk

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12−16 + 86 = 82

Solusi b

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Referensi

1. Baldor, a. 2007. Aritmatika teoretis praktis. Grup Editorial Patria S.KE. dari c.V.
2. Nikmati matematika. Urutan Operasi Pemdas. Pulih dari: nikmatiMaticaticas.com
3. Institut Monterey. Urutan Operasi. Pulih dari: montereyinstitute.org.
4. Universitas Teknologi Chihuahua. Kursus Leveling Matematika. Pulih dari: www.utch.Edu.MX.