Properti Nomor Imajiner, Aplikasi, Contoh

Itu Angka imajiner Mereka adalah mereka yang memberikan solusi pada persamaan di mana yang tidak diketahui, kuadrat ditinggikan, sama dengan angka negatif nyata. Unit imajiner adalah I = √ (-1).

Dalam persamaan: z²= - a, z Ini adalah angka imajiner yang dinyatakan sebagai berikut:

 Z = √ (-a) = i√ (a)

Makhluk ke Bilangan real positif. Ya A = 1, Jadi z = i, Di mana yo adalah unit imajiner.

Gambar 1. Bidang kompleks menunjukkan beberapa bilangan real, beberapa bilangan imajiner dan beberapa bilangan kompleks. Sumber: f. Zapata.

Secara umum, angka imajiner Z selalu diekspresikan dalam bentuk: 

z = y⋅i

Di mana Dan Itu adalah bilangan real dan yo adalah unit imajiner.

Serta bilangan real diwakili dalam satu baris, disebut Benar -benar lurus, Analog Bilangan imajiner diwakili di Imajiner lurus.

Itu Imajiner lurus Itu selalu ortogonal (bentuk 90º) ke Benar -benar lurus dan dua garis mendefinisikan pesawat Cartesian yang disebut Bidang kompleks.

Gambar 1 menunjukkan bidang kompleks dan beberapa bilangan real, beberapa bilangan imajiner dan juga beberapa bilangan kompleks diwakili di atasnya:

X₁, X₂, X₃ Mereka adalah bilangan real

DAN₁, DAN₂, DAN₃ Mereka adalah angka imajiner

Z₂ dan z₃ Mereka adalah bilangan kompleks

Angka atau merupakan nol nyata dan juga nol imajiner, sehingga asal atau nol kompleks yang diekspresikan oleh:

0 + 0i 

[TOC]

Properti

Himpunan angka imajiner dilambangkan dengan:

I = …, -3i,…, -2i,… .,-Yo,… .,0i, .. .,Yo,… .,2i, .. .,3i,…

Dan beberapa operasi tentang set numerik ini dapat ditentukan. Jumlah imajiner tidak selalu diperoleh dari operasi ini, jadi kami akan melihatnya dengan sedikit lebih detail:

Jumlah dan pengurangan imajiner

Angka imajiner dapat menambah dan mengurangi satu sama lain dan sebagai hasilnya akan ada angka imajiner baru. Misalnya:

Dapat melayani Anda: sepupu relatif: apa itu, penjelasan, contoh

 3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produk imajiner

Ketika produk dari angka imajiner dengan yang lain dibuat, hasilnya adalah bilangan real. Mari kita lakukan operasi berikut untuk memeriksa:

2i x 3i = 6 x i² = 6 x (√ (-1))² = 6 x (-1) = -6.

Dan seperti yang kita lihat, -6 adalah bilangan real, meskipun telah diperoleh dengan mengalikan dua bilangan imajiner murni.

Produk bilangan real untuk imajiner lain

Jika bilangan real dikalikan dengan i, hasilnya akan menjadi angka imajiner, yang sesuai dengan rotasi 90 derajat.

Dan apakah itu saya² sesuai dengan dua rotasi berturut -turut 90 derajat, yang setara dengan dikalikan dengan -1, yaitu i² = -1. Dapat dilihat pada diagram berikut:

Gambar 2. Perkalian dengan unit imajiner dan sesuai dengan rotasi 90º. Sumber: Wikimedia Commons.

Misalnya:

-3 x 5i = -15i

-3 x i = -3i.

Potensiasi imajiner

Potensiasi angka imajiner ke seluruh eksponen dapat didefinisikan:

yo¹ = i

yo² = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1

yo³ = i x i² = -I

yo⁴ = i² x i² = -1 x -1 = 1

yo⁵ = i x i⁴ = i

Secara umum Anda harus melakukannya yo^N = i^(n mod 4), Di mana Mod Itu adalah residu dari divisi antara N Dan 4.

Potensiasi bilangan bulat negatif juga dapat dibuat:

yo^-1 = 1 / i¹ = i / (i x i¹) = I / (i²) = I / (-1) = -i

yo-² = 1 / i² = 1/ (-1) = -1

yo-³= 1 / i³ = 1 / (-i) = (-1) / i = -1 x i^-1 = (-1) x (-i) = i

Secara umum, angka imajiner B⋅i yang ditinggikan ke daya n adalah:

(B⋅i) i^N = b^N yo^N = b^N i^(n mod 4)

Beberapa contoh adalah sebagai berikut:

(5 i)¹² = 5¹² yo¹² = 5¹² yo⁰ = 5¹² x 1 = 244140625

(5 i)^sebelas = 5^sebelas yo^sebelas = 5^sebelas yo³ = 5^sebelas x (-i) = -48828125 i

(-2 i)¹⁰ = -2¹⁰ yo¹⁰ = 2¹⁰ yo² = 1024 x (-1) = -1024

Jumlah bilangan real dan satu imajiner

Ketika bilangan real ditambahkan dengan yang imajiner, hasilnya tidak nyata atau imajiner, itu adalah jenis angka baru yang disebut Bilangan kompleks.

Misalnya, jika x = 3.5 dan y = 3.75i, maka hasilnya adalah bilangan kompleks:

Dapat melayani Anda: kotak minimum

Z = x + y = 3.5 + 3.75 i

Perhatikan bahwa bagian nyata dan imajiner tidak dapat dikelompokkan dalam jumlahnya, jadi bilangan kompleks akan selalu memiliki bagian nyata dan bagian imajiner lainnya.

Operasi ini memperluas set bilangan real ke bilangan kompleks yang paling luas.

Aplikasi

Nama angka imajiner diusulkan oleh matematikawan Prancis René Descartes (1596-1650) sebagai ejekan atau ketidaksepakatan dengan proposal mereka yang dibuat oleh ahli matematika Italia dari Raffaelle Century Bombelli.

Matematikawan hebat lainnya, seperti Euler dan Leibniz, mendukung descartes dalam ketidaksepakatan ini dan menyebut angka imajiner sebagai nomor amfibi, yang diperdebatkan antara keberadaan dan ketiadaan.

Nama angka imajiner dipertahankan saat ini, tetapi keberadaan dan kepentingannya sangat nyata dan jelas, karena mereka muncul secara alami di banyak bidang fisika seperti:

-Teori relativitas.

-Dalam elektromagnetisme.

-Mekanika kuantum.

Berolahraga dengan angka imajiner

- Latihan 1

Temukan solusi dari persamaan berikut:

z² + 16 = 0

Larutan

z² = -16

Mengambil akar kuadrat di kedua anggota yang Anda miliki:

√ (z² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i

Dengan kata lain, solusi dari persamaan asli adalah:

z = +4i atau z = -4i.

- Latihan 2

Temukan hasil peningkatan unit imajiner ke daya 5 minus pengurangan unit imajiner yang ditingkatkan ke daya -5.

Larutan

yo⁵ - yo-⁵ = i⁵ - 1/i⁵ = i - 1/i = i - (i)/(i x i) = i - i/( - 1) = i + i = 2i

- Latihan 3

Temukan hasil operasi berikut:

(3i)³ + 9i 

Larutan

3³ yo³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Latihan 4

Temukan solusi dari persamaan kuadratik berikut:

Dapat melayani Anda: Teorema Keberadaan dan Keunikan: Demonstrasi, Contoh dan Latihan

(-2x)² + 2 = 0

Larutan

Persamaannya disusun kembali sebagai berikut:

(-2x)² = -2

Kemudian ambil akar kuadrat di kedua anggota

√ ((-2x)²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Kemudian X akhirnya diperoleh:

x = ± √2 / 2 i

Artinya, ada dua solusi yang mungkin:

x = (√2 / 2) i

Atau ini lainnya:

x = - (√2 / 2) i

- Latihan 5

Temukan nilai z yang ditentukan oleh:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Larutan

Kita tahu bahwa akar kuadrat dari bilangan real negatif adalah angka imajiner, misalnya √ (-9) sama dengan √ (9) x √ (-1) = 3i.

Di sisi lain, √ (-4) sama dengan √ (4) x √ (-1) = 2i.

Sehingga persamaan asli dapat diganti dengan:

3i x 2i - 7 = 6 i² - 7 = 6 (-1) -7 = -6 -7 = -13

- Latihan 6

Temukan nilai z yang dihasilkan dari divisi berikut dari dua bilangan kompleks:

Z = (9 - i²) / (3 + i)

Larutan

Numerator ekspresi dapat menjadi faktor menggunakan properti berikut:

Perbedaan kotak adalah produk dari jumlah dengan perbedaan binomial tanpa menaikkan alun -alun.

Jadi:

Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)

Ekspresi yang dihasilkan kemudian disederhanakan dengan tetap

Z = (3 - i)

Referensi

1. Earl, r. Bilangan kompleks. Pulih dari: matematika.sapi.Ac.Inggris.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Diversifikasi. Edisi Co-Bo.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan masalah matematika. Publikasi Monfort.
4. Jiménez, r. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Nomor imajiner. Diperoleh dari: di.Wikipedia.org