Sejarah Bilangan Nyata, Contoh, Properti, Operasi

Itu bilangan real Mereka merupakan himpunan numerik yang mencakup bilangan alami, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional. Mereka dilambangkan dengan simbol ℝ atau sederhana R Dan jangkauan yang mereka miliki dalam sains, teknik dan ekonomi sedemikian rupa sehingga ketika berbicara tentang "angka", hampir diasumsikan bahwa itu adalah bilangan real.

Bilangan sebenarnya telah digunakan sejak zaman kuno, meskipun mereka tidak diberi nama itu. Dari saat Pythagoras mengembangkan teorema yang terkenal, angka muncul yang tidak dapat diperoleh sebagai bilangan alami atau bilangan bulat.

Gambar 1. Diagram Venn yang menunjukkan bagaimana himpunan bilangan real berisi set numerik lainnya. Sumber> Wikimedia Commons.

Contoh angka adalah √2, √3 dan π. Angka -angka ini disebut irasional, Berbeda dengan bilangan rasional, yang berasal dari kutipan antara bilangan bulat. Oleh karena itu, perlu set numerik yang mencakup kedua jenis angka.

Istilah "bilangan real" diciptakan oleh ahli matematika hebat René Descartes (1596-1650), untuk membedakan antara dua jenis akar yang mungkin muncul dari memecahkan persamaan polinomial.

Beberapa dari akar ini dapat berupa pasangan bilangan negatif, descartes ini menyebutnya "angka imajiner" dan mereka yang tidak, adalah bilangan real.

Denominasi ini bertahan dari waktu ke waktu, sehingga menimbulkan dua set numerik besar: bilangan real dan bilangan kompleks, set yang lebih luas yang mencakup bilangan real, imajiner dan mereka yang berada dalam nyata dan sebagian imajiner.

Evolusi bilangan real berlanjut sampai pada tahun 1872, ahli matematika Richard Dedekind (1831-1936) didefinisikan dengan semua formalitas himpunan bilangan real melalui panggilan Kortur Dedekind. Sintesis karyanya diposting dalam sebuah artikel yang melihat cahaya pada tahun yang sama.

Dapat melayani Anda: poligon biasa: sifat, elemen, sudut, contoh

[TOC]

Contoh bilangan real

Tabel berikut menunjukkan contoh bilangan real. Set ini memiliki subset ke bilangan alami, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional. Sejumlah set ini, dengan sendirinya, merupakan bilangan real.

Oleh karena itu 0, negatif, positif, pecahan dan desimal adalah bilangan real.

Gambar 2. Contoh bilangan real adalah penduduk asli, bilangan bulat, rasional, irasional dan transenden. Sumber: f. Zapata.

Representasi bilangan real di garis nyata 

Bilangan real dapat diwakili di garis nyata R, seperti yang ditunjukkan gambar. Tidak perlu bahwa 0 selalu ada, namun lebih mudah mengetahui bahwa reais negatif ada di kiri dan ke kanan positif. Itulah mengapa ini adalah titik referensi yang sangat baik.

Pada garis nyata skala diambil, di mana bilangan bulat ditemukan:… 3, -2, -1, 1, 2, 3… . Panah menunjukkan bahwa garis meluas ke tak terbatas. Tapi itu tidak semua, dalam interval apa pun yang dipertimbangkan, kami akan selalu menemukan bilangan real yang tak terbatas.

Bilangan real diwakili secara berurutan. Untuk memulainya, ada urutan bilangan bulat, di mana positif.

Pesanan ini tetap dalam bilangan real. Ketidaksetaraan berikut ditampilkan sebagai contoh:

a) -1/2 < √2

menjadi < π

c) π> -1/2

Gambar 3.- Garis sebenarnya. Sumber: Wikimedia Commons.

Sifat bilangan real

-Bilangan real termasuk bilangan alami, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional.

Dapat melayani Anda: berapa angka segitiga? Properti dan demonstrasi

-Properti komutatif dari jumlah dipenuhi: urutan addends tidak mengubah jumlah. Jika A dan B adalah dua bilangan real, selalu benar bahwa:

A + b = b + a

-0 adalah elemen netral dari jumlah: a + 0 = a

-Properti asosiatif dipenuhi untuk jumlahnya. Jika a, b dan c adalah bilangan real: (a + b) + c = a + (b + c).

-Kebalikan dari bilangan real A adalah -a.

-Pengurangan didefinisikan sebagai jumlah yang berlawanan: A - B = A + (-B).

-Properti komutatif produk dipenuhi: urutan faktor tidak mengubah produk: a.b = b.ke

-Properti asosiatif juga diterapkan pada produk: (a.B).C = a.(B.C)

-1 adalah elemen netral dari perkalian: a.1 = a

-Properti distributif perkalian sehubungan dengan penambahan adalah valid: a. (b+c) = a.b + a.C

-Divisi dengan 0 tidak didefinisikan.

-Bilangan real apa pun A, kecuali 0, memiliki kebalikan multiplikasi^-1 sehingga a.ke^-1 = 1.

-Jika A adalah bilangan real: a⁰ = 1 dan a¹ = a.

-Nilai atau modul absolut dari bilangan real adalah jarak antara angka tersebut dan 0.

Operasi dengan bilangan real

Dengan bilangan real Anda dapat melakukan operasi yang dibuat dengan set numerik lainnya, termasuk jumlah, pengurangan, perkalian, pembagian, peningkatan, radiasi, logaritma dan banyak lagi.

Seperti biasa, pembagian oleh 0 tidak didefinisikan, juga tidak ada logaritma dari angka negatif atau 0, meskipun benar bahwa log 1 = 0 dan bahwa logaritma angka antara 0 dan 1 negatif.

Aplikasi

Aplikasi bilangan real untuk semua jenis situasi sangat bervariasi. Bilangan real muncul sebagai respons terhadap banyak masalah dalam ilmu yang tepat, komputer, teknik, ekonomi dan ilmu sosial.

Ini dapat melayani Anda: Hipparco of Nicea: Biografi dan Kontribusi untuk Sains

Semua jenis besar dan jumlah seperti jarak, waktu, kekuatan, intensitas suara, uang dan banyak lagi, memiliki ekspresi dalam bilangan real.

Transmisi sinyal telepon, gambar dan suara video, suhu AC, pemanas atau kulkas dapat dikontrol secara digital, yang berarti mengubah magnitudo fisik menjadi urutan numerik.

Hal yang sama terjadi ketika transaksi bank dilakukan secara online atau pesan instan dikonsultasikan. Bilangan sebenarnya ada di mana -mana.

Olahraga diselesaikan

Mari kita lihat dengan latihan bagaimana angka -angka ini bekerja dalam situasi umum yang dengannya kita setiap hari.

Latihan 1

Kantor Pos hanya menerima paket yang panjangnya, ditambah pengukuran kontur, tidak melebihi 108 inci. Karena itu, untuk paket yang ditunjukkan diterima, harus dipenuhi bahwa:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Apakah Anda akan melewati paket yang berukuran 6 inci lebar, setinggi 8 inci dan panjang 5 kaki?

b) Bagaimana dengan yang mengukur 2 x 2 x 4 kaki³?

c) Apa yang paling dapat diterima untuk paket yang alasnya persegi dan berukuran 9 x 9 inci²?

Menjawab

L = 5 kaki = 60 inci

x = 6 inci

y = 8 inci

Operasi yang akan diselesaikan adalah:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inci = 60 + 2 x 14 inci = 60 + 28 inci = 88 inci

Paket diterima.

Jawaban b

Dimensi paket ini lebih rendah daripada paket A), jadi keduanya berhasil lewat.

Jawaban c

Dalam paket ini:

x = l = 9 inci

Harus dipenuhi bahwa:

9+ 2 (9+ y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

dan ≤ 40.5 inci

Referensi

1. Carena, m. 2019. Manual Matematika Preuniversity. Universitas Nasional Pantai.
2. Diego, a. Bilangan real dan propertinya. Pulih dari: matematika.Uns.Edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika ke -9. Derajat. Edisi Co-Bo.
4. Jiménez, r. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.