Teknik dan contoh penghitungan prinsip multiplikasi

Apa prinsip multiplikatif?

Dia Prinsip multiplikasi Ini adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah penghitungan untuk menemukan solusinya tanpa diperlukan untuk mendaftar elemen -elemennya. Ia juga dikenal sebagai prinsip dasar analisis kombinatorial; Ini didasarkan pada perkalian berturut -turut untuk menentukan cara di mana suatu peristiwa dapat terjadi.

Prinsip ini menetapkan bahwa, jika suatu keputusan (d₁) Dapat diambil dengan cara dan keputusan lain (D₂) Mneras dapat diambil, jumlah total cara di mana keputusan D dapat dibuat₁ dan d₂ Itu akan sama dengan berlipat ganda n _* M. Menurut prinsipnya, setiap keputusan dibuat demi lain: jumlah cara = n_{1 *} N₂.. _* N_X cara.

Contoh

Contoh 1

Paula berencana untuk pergi ke bioskop bersama teman -temannya, dan memilih pakaian yang akan dia pakai, memisahkan 3 blus dan 2 rok. Berapa banyak cara paula bisa berdandan?

• Larutan

Dalam hal ini, Paula harus membuat dua keputusan:

D₁ = Pilih antara 3 blus = n

D₂ = Pilih antara 2 rok = m

Dengan cara itu paula memiliki n _* M keputusan untuk membuat atau berbagai cara berpakaian.

N _* M = 3_* 2 = 6 keputusan.

Prinsip multiplikatif lahir dari teknik diagram pohon, yang merupakan diagram yang menghubungkan semua hasil yang mungkin, sehingga masing -masing dapat terjadi beberapa kali terbatas.

Contoh 2

Mario sangat haus, jadi dia pergi ke toko roti untuk membeli jus. Luis melayani dia dan mengatakan kepadanya bahwa dia memiliki dalam dua ukuran: besar dan kecil; dan empat rasa: apel, oranye, lemon dan anggur. Berapa banyak cara Mario dapat memilih jus?

• Larutan

Dalam diagram dapat dilihat bahwa Mario memiliki 8 cara berbeda untuk memilih jus dan bahwa, seperti dalam prinsip multiplikasi, hasil ini diperoleh dengan multiplikasi n_*M. Satu -satunya perbedaan adalah bahwa melalui diagram ini Anda dapat mengetahui bagaimana cara Mario memilih jus.

Dapat melayani Anda: merek kelas

Di sisi lain, ketika jumlah hasil yang mungkin sangat besar, lebih praktis untuk menggunakan prinsip multiplikasi.

Teknik penghitungan

Teknik penghitungan adalah metode yang digunakan untuk membuat penghitungan langsung, dan dengan demikian mengetahui jumlah kemungkinan pengaturan yang dapat dimiliki oleh elemen -elemen dari set tertentu. Teknik -teknik ini didasarkan pada beberapa prinsip:

Prinsip penambahan

Prinsip ini menetapkan bahwa, jika dua peristiwa M dan N tidak dapat terjadi pada saat yang sama, jumlah cara sebagai peristiwa pertama atau kedua akan menjadi jumlah M + n:

Jumlah formulir = m + n ... + x Bentuk yang berbeda.

Contoh

Antonio ingin melakukan perjalanan tetapi tidak memutuskan tujuan mana; Di Badan Pariwisata Selatan mereka menawarkan promosi untuk bepergian ke New York atau Las Vegas, sementara Badan Pariwisata Timur merekomendasikan untuk bepergian ke Prancis, Italia atau Spanyol. Berapa banyak alternatif perjalanan yang berbeda yang ditawarkan Antonio?

Larutan

Dengan Badan Pariwisata Selatan Antonio memiliki 2 alternatif (New York atau Las Vegas), sedangkan dengan Badan Pariwisata Timur ia memiliki 3 opsi (Prancis, Italia atau Spanyol). Jumlah alternatif yang berbeda adalah:

Jumlah alternatif = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Prinsip permutasi

Ini adalah tentang secara khusus memesan semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set, untuk memfasilitasi penghitungan semua pengaturan yang mungkin dilakukan dengan elemen.

Jumlah permutasi n elemen yang berbeda, diambil sekaligus, direpresentasikan sebagai:

_NP_N = n!

Contoh

Empat teman ingin mengambil gambar dan ingin tahu berapa banyak cara berbeda yang dapat dipesan.

Larutan

Anda ingin mengetahui himpunan semua cara yang mungkin di mana 4 orang dapat ditempatkan untuk mengambil foto. Dengan demikian, Anda harus:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 cara berbeda.

Jika jumlah permutasi elemen N yang tersedia diambil oleh bagian dari set yang dibentuk oleh elemen R, itu direpresentasikan sebagai:

Dapat melayani Anda: apa rentang statistiknya? (Dengan contoh)

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Contoh

Di ruang kelas Anda memiliki 10 posisi. Jika 4 siswa hadir untuk kelas, berapa banyak cara berbeda siswa dapat menempati posisi?

Larutan

Jumlah total set kursi adalah 10, dan ini hanya akan digunakan 4. Formula yang diberikan diterapkan untuk menentukan jumlah permutasi:

_NP_R = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 Cara Menempati Posisi.

Ada kasus di mana beberapa elemen yang tersedia dari satu set diulang (mereka sama). Untuk menghitung jumlah pengaturan yang mengambil semua elemen pada saat yang sama formula berikut digunakan:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

Contoh

Berapa banyak kata berbeda dari empat huruf yang dapat dibentuk dari kata "serigala"?

Larutan

Dalam hal ini ada 4 elemen (huruf) yang dua di antaranya persis sama. Menerapkan formula yang diberikan, diketahui berapa banyak kata yang berbeda:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 kata yang berbeda.

Prinsip Kombinasi

Ini tentang memperbaiki semua atau beberapa elemen yang membentuk set tanpa urutan tertentu. Misalnya, jika Anda memiliki pengaturan XYZ, ini akan identik dengan ZXY, YZX, pengaturan Zyx, antara lain; Ini karena, meskipun tidak berada dalam urutan yang sama, unsur -unsur dari setiap pengaturan adalah sama.

Ketika beberapa elemen (r) dari set (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan oleh rumus berikut:

_NC_{R =} N! ÷ (n - r)!R!

Contoh

Di toko mereka menjual 5 jenis cokelat yang berbeda. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dipilih 4 cokelat?

Dapat melayani Anda: kongruensi: angka kongruen, kriteria, contoh, latihan

Larutan

Dalam hal ini Anda harus memilih 4 cokelat dari 5 jenis yang dijual di toko. Urutan di mana mereka dipilih tidak masalah dan, selain itu, jenis cokelat dapat dipilih lebih dari dua kali. Menerapkan formula, Anda harus:

_NC_R = n! ÷ (n - r)!R!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 cara berbeda untuk memilih 4 cokelat.

Ketika semua elemen (r) dari set (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan oleh formula berikut:

_NC_{n =} N!

Latihan terpecahkan

Latihan 1

Anda memiliki tim baseball dengan 14 anggota. Berapa banyak cara yang dapat ditetapkan oleh 5 posisi untuk sebuah game?

• Larutan

Set terdiri dari 14 elemen dan Anda ingin menetapkan 5 posisi tertentu; Artinya, urutannya penting. Formula permutasi diterapkan di mana elemen N yang tersedia diambil oleh bagian -bagian dari satu set yang dibentuk oleh r.

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Dimana n = 14 dan r = 5. Itu diganti dalam formula:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 Cara Menetapkan 9 Posisi Game.

Latihan 2

Jika keluarga yang terdiri dari 9 anggota melakukan perjalanan dan membeli tiket mereka dengan posisi berturut -turut, berapa banyak cara berbeda yang bisa duduk?

• Larutan

Ini adalah 9 elemen yang akan menempati 9 kursi secara berurutan.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 cara duduk yang berbeda.

Referensi

1. Hopkins, b. (2009). Sumber Daya untuk Mengajar Matematika Diskrit: Proyek Kelas, Modul Sejarah, dan Artikel.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Matematika diskrit. Pendidikan Pearson,.
3. Lutfiyya, l. KE. (2012). Pemecah masalah matematika yang terbatas dan diskrit. Editor Asosiasi Penelitian & Pendidikan.
4. Padró, f. C. (2001). Matematika diskrit. Politèc. dari Catalonia.
5. Steiner, e. (2005). Matematika untuk Ilmu Terapan. Kembali.