Aturan derivasi (dengan contoh)

Apa aturan derivasi?

Itu Aturan Derrying Mereka adalah himpunan indikasi untuk diikuti untuk menemukan turunan biasa dari fungsi variabel nyata f (x).

Turunan biasa dari fungsi f (x), yang dilambangkan sebagai f '(x), ditafsirkan sebagai nilai tukar sesaat dari fungsi tersebut sehubungan dengan variabel x. Secara grafis, turunannya adalah kemiringan garis garis singgung ke kurva f (x), dihitung pada titik tertentu yang koordinatnya x_{salah satu}, sebagaimana diwakili dalam gambar di bawah ini.

Turunan sebagai kemiringan garis garis singgung ke f (x) pada titik tertentu. Sumber: Wikimedia Anemos/dimodifikasi oleh f. Zapata.

Sekarang, secara analitik turunan dihitung melalui batas berikut:

Jadi, setiap kali turunan dari beberapa fungsi diperlukan, batas harus dievaluasi seperti yang ditunjukkan. Namun, ada aturan derasi, yang mudah dihafal dengan sedikit praktik dan menyimpan pekerjaan menghitung batas, yang dalam beberapa kasus rumit.

Apa aturan derivasi?

Aturan derivasi yang ditunjukkan di bawah ini mudah diperoleh melalui definisi turunan formal.

1. Turunan langsung

Berasal dari konstan

Turunan dari K konstan adalah 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Contoh

f (x) = 5, lalu f '(5) = 0

Berasal dari x

Turunan f (x) = x selalu 1, artinya:

f (x) = x, lalu f '(x) = 1

2. Fungsi linier diturunkan

Fungsi linier memiliki bentuk:

f (x) = kapak

Dimana a adalah bilangan real.

Turunannya adalah:

f '(x) = a

• Contoh

Biarkan f (x) = 3x, lalu:

f '(x) = 3

3. Berasal dari jumlah

Jika f (x) adalah jumlah atau pengurangan dua fungsi U dan V, keduanya dapat dibedakan:

f (x) = u ± v

Jadi:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Berasal dari fungsi terkait

Fungsi terkait adalah jumlah dari dua istilah:

Dapat melayani Anda: Operasi gabungan

f (x) = kapak + b

Dimana a dan b adalah bilangan real. Menerapkan jumlah jumlah:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Tetapi:

(ax) '= a (aturan 2)

(b) '= 0 (aturan 1)

Karena itu:

f '(x) = a

• Contoh

Turunan f (x) = −8x + 6 adalah:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Berasal dari kekuatan

Kasus 1

Biarkan f (x) menjadi fungsi potensial dari bentuk f (x) = x^N, Jadi:

f (x) = x^N ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Contoh

Saat diturunkan:

f (x) = x³

Hasil:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Kasus 2

Jika fungsi memiliki bentuk f (x) = kapak^N, Di mana A adalah bilangan real, itu keluar dari turunan:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Contoh

Memperoleh:

f (x) = 4x⁵

Diperoleh:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Kasus 3

Jika eksponen bersifat fraksional, ia berlangsung dengan cara yang sama seperti dijelaskan dalam Kasus 1 dan 2. Ini terjadi ketika variabel x ditemukan sebagai argumen root.

• Contoh

Jadilah fungsinya:

f (x) = 3x^3/2

Turunannya adalah:

 Jika Anda ingin menulis dalam bentuk root:

5. Produk diturunkan

Aturan produk berlaku untuk fungsi berbentuk produk antara dua fungsi U dan V, keduanya dapat dibedakan:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Yaitu, turunan dari produk dari dua fungsi adalah turunan dari yang pertama, pada yang kedua tanpa penurunan, ditambah yang pertama tanpa penurunan, dikalikan dengan turunan dari yang kedua.

• Contoh

Temukan, mengikuti aturan produk dan aturan yang dijelaskan di atas, turunan dari:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Hal pertama adalah memutuskan siapa Anda dan V, mengingat bahwa urutan faktor tidak mengubah produk, mereka dapat dipilih dengan cara ini:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Kemudian aturan produk dinaikkan dan turunan yang ditunjukkan diselesaikan, sesuai dengan aturan yang dijelaskan di atas:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Dapat melayani Anda: pemrograman linier: untuk apa, model, pembatasan, aplikasi

Kamu harus:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Mengganti:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Turunannya sudah siap, tetapi ekspresi masih bisa menjadi faktor:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Hasil ini juga dapat diperoleh dengan sebelumnya menerapkan properti distributif untuk produk (2x+3) (4x²−1) dan kemudian menggunakan aturan dari 1 hingga 4. Itu ditinggalkan sebagai latihan untuk pembaca.

6. Berasal dari hasil bagi

Menjadi fungsi bentuk:

Dengan kondisi v ≠ 0, dan keduanya, u dan v, dapat dibedakan. Dalam hal ini, turunannya dihitung melalui:

• Contoh

Temukan turunan dari:

Untuk contoh ini Anda harus:

• U = x+1
• v = x²

Rasio aturan hasil bagi mengarah ke:

Yang perlu untuk menggantikan yang berikut:

• (x+1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²)² = x⁴

Dan saat menggantinya adalah:

Menerapkan properti distributif di pembilang dan pereduksi istilah, ekspresi untuk f '(x) adalah:

Latihan itu bisa diselesaikan dengan cara lain, menulis ulang f (x) sebagai:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

Dan kemudian menerapkan aturan produk dan beberapa aljabar. Dibiarkan sebagai latihan bagi pembaca untuk memverifikasi bahwa itu diperoleh hasil yang identik.

7. Aturan rantai

Berlaku untuk Fungsi Komposit, Formulir:

f = f (u)

Dimana u = g (x)

Turunannya dilakukan sebagai berikut:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) dikenal sebagai Turunan internal. Menerapkan aturan rantai lebih mudah daripada yang terlihat pada pandangan pertama, lihat contoh ini:

• Contoh

Menerapkan aturan rantai, temukan turunan dari:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Oleh karena itu, f (u) = u⁷ Dan turunannya, menurut Peraturan 4 adalah:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Hasil ini disimpan dan turunan internal G '(x) dihitung:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Di sini perlu untuk menerapkan aturan berturut -turut: 3 (untuk jumlah/pengurangan fungsi), 4 (untuk kekuatan) dan 1 (untuk turunan konstan).

Itu dapat melayani Anda: teori antrian: sejarah, model, untuk apa dan contohnya

Diperoleh:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Langkah terakhir adalah melipatgandakan hasil:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Dan akhirnya mengatur ulang faktor -faktor:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Berasal dari fungsi trigonometri

Turunan fungsi trigonometri adalah:

• Contoh

Memperoleh:

H (x) = sin (4x)

Melakukan u = 4x dan menerapkan aturan rantai diperoleh:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Berasal dari fungsi trigonometri terbalik

Mereka ditampilkan di tabel berikut:

• Contoh

Memperoleh:

g (x) = arct tg (-2x)

Selalu ingat aturan rantai, u = -2x selesai dan turunannya adalah:

10. Berasal dari fungsi eksponensial dan logaritmik

Fungsi eksponensial

Jika basisnya adalah nomor E:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Saat pangkalan adalah angka A:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Fungsi logaritmik

Ketika fungsi logaritma Neperian diturunkan:

f (x) = ln x

Dalam kasus logaritma di pangkalan lain:

f (x) = log_ke X

• Contoh

Memperoleh:

H (x) = x ∙ lnx

sebelas. Turunan implisit

Mereka digunakan ketika pembersihan y (x) tidak langsung, oleh karena itu, tidak ada ekspresi eksplisit untuk f (x), seperti dalam kasus sebelumnya. Meski begitu, dimungkinkan untuk menemukan turunan dengan prosedur yang diilustrasikan dalam contoh berikut:

• Contoh

Secara implisit memperoleh ekspresi berikut untuk menemukan dan ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Seperti yang Anda lihat, tidak mudah untuk menemukan dan tergantung pada X secara langsung, jadi untuk menemukan turunan yang diminta, aturan yang dijelaskan diterapkan, merujuk pada kedua sisi kesetaraan:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (dan²) '] - (2y³) '= 0 (aturan jumlah dan aturan produk)

Tujuannya adalah untuk membersihkan dan ', yang merupakan turunan yang dicari, di mana aturan rantai diterapkan:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²dan '= 12x² + 11 + 22xy ∙ dan ' - 6y² ∙ dan '= 0

dan '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0