Teorema Moivre

Kami menjelaskan apa itu teorema Moivre, kami menunjukkan dan mengusulkan latihan yang terpecahkan

Apa Teorema Moivre?

Dia Teorema Moivre Terapkan proses aljabar mendasar, seperti kekuatan dan ekstraksi akar dalam bilangan kompleks. Teorema ini dinyatakan oleh ahli matematika Prancis terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan bilangan kompleks dengan trigonometri.

Abraham Moivre membuat hubungan ini melalui ekspresi payudara dan coseno. Matematikawan ini menghasilkan semacam formula yang melaluinya mungkin.

Penjelasan

Teorema Moivre menetapkan yang berikut:

Jika Anda memiliki bilangan kompleks dalam bentuk kutub z = r_Ɵ, di mana r adalah modul bilangan kompleks z, dan sudut ɵ disebut amplitudo atau argumen dari angka kompleks apa pun dengan 0 ≤ ɵ ≤ 2π, untuk menghitung kekuatan n-ini tidak perlu untuk melipatgandakannya dengan sendirinya n- tweces; Artinya, tidak perlu membuat produk berikut:

Z^N = z _* z _* z_{*... *} z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ *... *} R_Ɵ   N-kamu.

Untuk contario, teorema mengatakan bahwa, ketika menulis Z dalam bentuk trigonometri, untuk menghitung satu -satunya kekuatan, lanjutkan sebagai berikut:

Ya z = r (cos ɵ + i _* dosa ɵ) lalu z^N = r^N (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Misalnya, jika n = 2, maka z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Jika Anda harus n = 3, maka z³ = z² _* z. Di samping itu:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

Dengan cara ini, alasan trigonometri payudara dan kosinus dapat diperoleh untuk kelipatan sudut, selama alasan trigonometri sudut diketahui.

Dengan cara yang sama dapat digunakan untuk menemukan ekspresi yang lebih tepat dan kurang membingungkan untuk akar n -IT ini dari bilangan kompleks z, sehingga z^N = 1.

Untuk menunjukkan teorema Moivre, prinsip induksi matematika digunakan: jika bilangan bulat "a" memiliki properti "p", dan jika untuk bilangan bulat "n" lebih besar dari "a" yang memiliki properti "p" se. Mematuhi n + 1 juga memiliki properti "P", jadi semua seluruh angka lebih besar atau sama dengan "A" memiliki properti "P".

Demonstrasi teorema Moivre

Dengan cara ini, demonstrasi teorema dilakukan dengan langkah -langkah berikut:

Basis induktif

Pertama diperiksa untuk n = 1.

Dapat melayani Anda: Curtosis: Definisi, Jenis, Rumus, untuk apa, misalnya

Seperti z¹ = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], harus n = 1 Teorema terpenuhi.

Hipotesis induktif

Formulanya seharusnya benar untuk beberapa bilangan bulat positif, yaitu n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Verifikasi

Terbukti bahwa itu berlaku untuk n = k + 1.

Seperti z^K+1= z^k _* Z, lalu z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* senɵ).

Kemudian ekspresi berlipat ganda:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Untuk sesaat faktor R diabaikan^K+1,  Dan Anda mendapatkan faktor umum I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Seperti saya² = -1, kami menggantinya dalam ekspresi dan mendapatkan:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Sekarang bagian nyata dan imajiner dipesan:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Untuk menyederhanakan ekspresi, identitas trigonometri sudut untuk kosinus dan sinus diterapkan, yaitu:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* dosa b.

sin (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

Dalam hal ini, variabel adalah sudut ɵ dan kɵ. Menerapkan identitas trigonometri, Anda memiliki:

cos kɵ _* cosɵ -  sin kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

sin kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

Dengan cara ini, ekspresi tetap:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* sin (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(K +1) ɵ] + i _* sin [(k +1) ɵ]).

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa hasilnya berlaku untuk n = k+1. Dengan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa hasilnya berlaku untuk semua bilangan bulat positif; yaitu, n ≥ 1.

Keseluruhan negatif

Teorema Moivre juga diterapkan saat n ≤ 0. Mari kita pertimbangkan keseluruhan negatif "n"; Lalu "n" dapat ditulis sebagai "-m", yaitu n = -m, menjadi "m" bilangan bulat positif. Karena itu:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^-M

Untuk mendapatkan eksponen "M" dengan cara yang positif, ekspresi ditulis secara terbalik:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^M

Dapat melayani Anda: sudut nol: definisi dan karakteristik, contoh, latihan

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin mɵ)

Sekarang, digunakan jika z = a+b*i adalah bilangan kompleks, maka 1 ÷ z = a-b*i. Karena itu:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = cos (mɵ) - i _* SEN (Mɵ).

Menggunakan cos (x) = cos (-x) dan itu -sen (x) = sen (-x), itu harus:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = [cos (mɵ) - i _* Sin (Mɵ)]

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = cos (nɵ) - i _* dosa (nɵ).

Dengan cara ini, dapat dikatakan bahwa teorema berlaku untuk semua nilai "n".

Latihan terpecahkan

Perhitungan Daya Positif

Salah satu operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk kutubnya adalah penggandaan antara dua; Dalam hal ini modul berlipat ganda dan argumen ditambahkan.

Jika Anda memiliki dua bilangan kompleks z₁ dan z₂ Dan Anda ingin menghitung (z₁*z₂)², Kemudian lanjutkan sebagai berikut:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + yo _* sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + yo _* sen ɵ₂)]

Properti distributif diterapkan:

z₁z₂ = r₁ R₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + yo _* cos ɵ_1* yo _* sen ɵ₂ + yo _* sen ɵ_1* cos ɵ₂ + yo²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂).

Mereka dikelompokkan, menggambar istilah "i" sebagai faktor umum dari ekspresi:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂]

Seperti saya² = -1, diganti dalam ekspresi:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) - sen ɵ_1* sen ɵ₂]

Istilah nyata dengan nyata, dan imajiner dengan imajiner dikelompokkan kembali:

z₁z₂ = r₁ R₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - sen ɵ_1* sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂)]

Akhirnya, sifat trigonometri diterapkan:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos (ɵ ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Kesimpulannya:

(z₁*z₂)²= (r₁ R₂ [cos (ɵ ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Latihan 1

Tulis bilangan kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, menggunakan teorema Moivre, hitung z⁴.

Larutan

Angka kompleks z = -2 -2i diekspresikan dalam bentuk persegi panjang z = a +bi, di mana:

A = -2.

B = -2.

Mengetahui bahwa bentuk kutub adalah z = r (cos ɵ + i _* sen ɵ), perlu untuk menentukan nilai modul "r" dan nilai argumen "ɵ". Sebagai r = √ (a²+b²), nilai yang diberikan diganti:

Ini dapat melayani Anda: Fungsi Trigonometri: Dasar, di bidang Cartesian, Contoh, Latihan

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Kemudian, untuk menentukan nilai "ɵ", bentuk persegi panjang ini diterapkan, yang diberikan oleh rumus:

jadi ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Sebagai (ɵ) = 1 dan harus<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Seperti yang telah dicapai dengan nilai "r" dan "ɵ", bilangan kompleks z = -2 -2i dapat diekspresikan dalam bentuk kutub menggantikan nilai:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* dosa (5π/4)).

Sekarang Teorema Moivre digunakan untuk menghitung z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* dosa (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* dosa (5π)).

Latihan 2

Temukan produk bilangan kompleks yang mengekspresikannya dalam bentuk kutubnya:

Z1 = 4 (cos 50^{salah satu} + yo_* Sen 50^{salah satu})

Z2 = 7 (cos 100^{salah satu} + yo_* Sen 100^{salah satu}).

Kemudian, Hitung (Z1*Z2) ².

Larutan

Pertama produk dari angka yang diberikan dibentuk:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^{salah satu} + yo_* Sen 50^{salah satu})] * [7 (cos 100^{salah satu} + yo_* Sen 100^{salah satu})]

Kemudian modul bertambah satu sama lain, dan argumen ditambahkan:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^{salah satu} + 100^{salah satu}) + i_* Sen (50^{salah satu} + 100^{salah satu})]

Ekspresi disederhanakan:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^{salah satu} + (Yo_* Sen 150^{salah satu}).

Akhirnya, teorema Moivre berlaku:

(Z1*z2) ² = (28 _* (Cos 150^{salah satu} + (Yo_* Sen 150^{salah satu})) ² = 784 (cos 300^{salah satu} + (Yo_* Sen 300^{salah satu}).

Perhitungan Kekuatan Negatif

Untuk membagi dua bilangan kompleks z₁ dan z₂ Dalam bentuk kutubnya, modul dibagi dan argumen dikurangi. Dengan demikian, hasil bagi adalah z₁ ÷ z₂ Dan itu dinyatakan sebagai berikut:

z₁ ÷ z₂ = R1/r2 ([cos (ɵ ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Seperti dalam kasus sebelumnya, jika Anda ingin menghitung (z1 ÷ z2) ³ Pembagian adalah efek pertama dan kemudian teorema Moivre digunakan.

Latihan 3

DICE:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Hitung (Z1 ÷ Z2) ³.

Larutan

Mengikuti langkah -langkah yang dijelaskan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Referensi

1. Arthur Goodman, L. H. ( seribu sembilan ratus sembilan puluh enam). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
2. Croucher, m. (S.F.). Oleh teorema Moivre untuk identitas trig. Proyek Demonstrasi Wolfram.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Aljabar dan Trigonometri.
5. Pérez, c. D. (2010). Pendidikan Pearson.
6. Stanley, g. (S.F.). Aljabar linier. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pendidikan Pearson.