Matematika

Transformasi Laplace

2964
37
Ernesto Mueller

Apa Transformasi Laplace?

Itu Transformasi Laplace Telah dalam beberapa tahun terakhir sangat penting dalam teknik, matematika, fisika, di antara bidang ilmiah lainnya, karena selain sangat menarik dalam teori, ia memberikan cara sederhana untuk menyelesaikan persamaan diferensial, mengubahnya menjadi persamaan aljabar.

Awalnya Transformasi Laplace disajikan oleh Pierre-Simon Laplace (1745-1827) dalam studinya tentang teori probabilitas, dan pada prinsipnya diperlakukan sebagai objek matematika yang hanya memiliki minat teoretis hanya teoretis.

Aplikasi saat ini muncul ketika berbagai ahli matematika mencoba memberikan pembenaran formal untuk "aturan operasional" yang digunakan oleh Oliver Heaviside (1850-1925) dalam studi persamaan teori elektromagnetik.

Definisi Transformasi Laplace

Biarkan f menjadi fungsi yang ditentukan untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai berikut:

Dikatakan bahwa transformasi Laplace ada jika integral konvergen sebelumnya, jika tidak dikatakan bahwa transformasi Laplace tidak ada.

Secara umum, untuk menunjukkan fungsi yang diinginkan untuk mengubah huruf kecil dan huruf kapital sesuai dengan transformasinya. Dengan cara ini kita akan memiliki:

Contoh

Pertimbangkan fungsi konstan f (t) = 1. Kami harus mengubah:

Asalkan konvergen integral, yaitu, asalkan s> 0. Jika tidak, s < 0, la integral diverge.

Biarkan g (t) = t. Transformasi Laplace -nya diberikan oleh:

Saat berintegrasi dengan bagian dan mengetahuinya^-St Itu cenderung 0 ketika t cenderung tak terhingga dan s> 0, bersama dengan contoh sebelumnya kita harus:

Transformasi mungkin atau mungkin tidak ada, misalnya untuk fungsi f (t) = 1/t, integral yang mendefinisikan transformasi Laplace tidak menyatu dan oleh karena itu transformasinya tidak ada.

Kondisi yang cukup untuk memastikan bahwa transformasi Laplace dari suatu fungsi F ada, adalah bahwa F adalah kontinu pada bagian untuk T ≥ 0 dan merupakan urutan eksponensial.

Dikatakan bahwa suatu fungsi kontinu pada bagian untuk t ≥ 0, ketika untuk interval apa pun [a, b] dengan a> 0, ada jumlah titik yang terbatas_k, Di mana f memiliki diskontinuitas dan kontinu di setiap subinterval [t_K-1,T_k].

Di sisi lain, dikatakan bahwa fungsi eksponensial C jika ada konstanta nyata m> 0, c dan t> 0 sehingga:

Sebagai contoh kita harus f (t) = t² Itu eksponensial, karena | t²| < e^3t Untuk semua t> 0.

Secara formal kami memiliki teorema berikut:

Teorema (kondisi yang cukup untuk keberadaan)

Jika f adalah fungsi kontinu untuk t> 0 dan eksponensial C, maka ada transformasi Laplace untuk S> C.

Penting untuk menyoroti bahwa ini adalah kondisi kecukupan, yaitu, bahwa mungkin ada kasus bahwa ada fungsi yang tidak memenuhi kondisi ini, namun transformasi Laplace -nya ada.

Contohnya adalah fungsi f (t) = t^-1/2 yang tidak kontinu di bagian untuk t ≥ 0 tetapi transformasi laplace -nya ada.

Transformasi Laplace dari beberapa fungsi dasar

Tabel berikut menunjukkan transformasi Laplace dari fungsi yang paling umum.

Dapat melayani Anda: bilangan bulat

Sejarah Transformasi Laplace

Transformasi Laplace berutang namanya kepada Pierre-Simon Laplace, Matematikawan, dan Astronom Prancis dan ahli teori yang lahir pada 1749 dan meninggal pada tahun 1827. Ketenarannya sedemikian rupa sehingga dia dikenal sebagai Newton di Prancis.

Pada 1744, Leonard Euler (1707-1783) mendedikasikan studinya untuk integral dengan formulir

Sebagai solusi dari persamaan diferensial biasa, tetapi dengan cepat meninggalkan penelitian ini. Kemudian, Joseph Louis Lagrange (1736-1813), yang banyak mengagumi Euler, juga menyelidiki jenis integral ini dan mengaitkannya dengan teori probabilitas.

1782, Laplace

Pada 1782 Laplace mulai mempelajari integral -integral ini sebagai solusi untuk persamaan diferensial dan, menurut sejarawan, pada 1785 ia memutuskan untuk merumuskan kembali masalah tersebut, yang kemudian melahirkan transformasi Laplace saat mereka dipahami hari ini.

Setelah diperkenalkan di bidang teori probabilitas, itu tidak menarik bagi para ilmuwan saat ini, dan hanya dipandang sebagai objek matematika hanya dengan minat teoretis.

Heaviside Oliver

Itu pada pertengahan abad ke -19 ketika insinyur Inggris Oliver Heaviside menemukan bahwa operator diferensial dapat diperlakukan sebagai variabel aljabar, sehingga memberikan aplikasi modern mereka ke Transformasi Laplace mereka.

Oliver Heaviside adalah seorang fisikawan, insinyur listrik dan matematika Inggris yang lahir pada tahun 1850 di London dan meninggal pada tahun 1925. Saat mencoba memecahkan masalah persamaan diferensial yang diterapkan pada teori getaran, dan menggunakan studi Laplace, itu mulai membentuk aplikasi modern transformasi LAPLA.

Hasil yang diekspos oleh penyebaran Heaviside dengan cepat.

Namun, kegunaan pekerjaan Heaviside saat memecahkan persamaan fisika menyebabkan metode mereka menjadi populer di antara fisikawan dan insinyur.

Terlepas dari kemunduran ini dan setelah beberapa dekade upaya yang gagal, pada awal abad ke -20 itu dapat diberikan pembenaran yang ketat atas aturan operasional yang ditetapkan oleh Heaviside.

Upaya -upaya ini terbayar berkat upaya berbagai ahli matematika, seperti Bromwich, Carson, van der Pol, antara lain.

Properti Transformasi Laplace

Di antara sifat transformasi Laplace, yang berikut ini menonjol:

Linearitas

Biarkan fungsi C1 dan C2 konstan dan f (t) dan g (t) yang transformasi Laplace masing -masing adalah f (s) dan g (s), maka harus:

Karena properti ini dikatakan bahwa Transformasi Laplace adalah operator linier.

Contoh:

Teorema Terjemahan Pertama

Jika itu terjadi itu:

Dan 'A' adalah bilangan real apa pun, lalu:

Contoh:

Sebagai Laplace de Cos Transform (2t) = S/(S^2 + 4) Lalu:

Teorema Terjemahan Kedua

Jadi

Contoh:

Jika f (t) = t^3, maka f (s) = 6/s^4. Dan karena itu, transformasi

adalah g (s) = 6e^-2s/s^4

Perubahan skala

Dan 'A' sangat berbeda dari nol, kita harus

Contoh:

Karena transformasi f (t) = sen (t) adalah f (s) = 1/(s^2 + 1)

Dapat melayani Anda: notasi yang dikembangkan: apa itu, contoh dan latihan

Laplace berubah dari turunan

Jika f, f ', f ", ..., f^(N) Mereka kontinu untuk t ≥ 0 dan eksponensial dan f^(N)(t) kontinu pada bagian untuk t ≥ 0, lalu

Transformasi Laplace Integral

Jadi

Perkalian dengan t^N

Jika kita harus

Jadi

Divisi oleh t

Jika kita harus

Jadi

Fungsi Berkala

Biarkan f menjadi fungsi periodik dengan periode t> 0, yaitu, f (t +t) = f (t), lalu

Perilaku f (s) saat s cenderung tak terbatas

Jika f terus menerus di bagian dan urutan eksponensial dan

Jadi

Inverse Transformed

Ketika kami menerapkan transformasi Laplace ke fungsi f (t) kami memperoleh f (s), yang mewakili transformasi tersebut. Dengan cara yang sama kita dapat mengatakan bahwa f (t) adalah transformasi laplace terbalik dari f (s), dan ditulis sebagai

Kita tahu bahwa transformasi Laplace dari f (t) = 1 dan g (t) = t adalah f (s) = 1/s dan g (s) = 1/s² masing -masing, oleh karena itu kita harus

Beberapa Laplace yang umum diubah adalah sebagai berikut

Selain itu, transformasi Laplace terbalik adalah linier, yaitu, dipenuhi itu

Latihan

Menemukan

Untuk menyelesaikan latihan ini, kita harus mencocokkan fungsi F (S) dengan beberapa tabel sebelumnya. Dalam hal ini, jika kita mengambil n + 1 = 5 dan menggunakan properti linearitas dari transformasi terbalik, kita berlipat ganda dan membagi dengan 4! Mendapatkan

Untuk transformasi terbalik kedua kami menerapkan fraksi parsial untuk menulis ulang fungsi f (s) dan kemudian properti linearitas, memperoleh

Seperti yang dapat kita lihat dari contoh -contoh ini, adalah umum bahwa fungsi f (s) yang dievaluasi tidak sesuai dengan salah satu fungsi yang diberikan dalam tabel. Untuk kasus -kasus ini, seperti yang diamati, cukup untuk menulis ulang fungsi sampai mencapai bentuk yang tepat.

Aplikasi Transformasi Laplace

Persamaan diferensial

Aplikasi utama yang dimiliki Laplace adalah untuk memecahkan persamaan diferensial.

Menggunakan properti transformasi turunan, jelas bahwa

Dan dari turunan N-1 dievaluasi pada t = 0.

Properti ini membuat yang diubah.

Contoh -contoh berikut menunjukkan cara menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Contoh 1

Mengingat masalah nilai awal berikut

Gunakan Transformasi Laplace untuk menemukan solusinya.

Kami menerapkan transformasi Laplace untuk setiap anggota persamaan diferensial

Untuk properti transformasi turunan yang kami miliki

Saat mengembangkan semua ekspresi dan pembersihan dan (s) yang kami miliki

Menggunakan fraksi parsial untuk menulis ulang sisi kanan persamaan yang kami peroleh

Akhirnya, tujuan kami adalah menemukan fungsi dan (t) yang memenuhi persamaan diferensial. Menggunakan transformasi Laplace terbalik yang dihasilkannya

Contoh 2

Menyelesaikan

Seperti pada kasus sebelumnya, kami menerapkan transformasi di kedua sisi persamaan dan istilah terpisah istilah.

Dengan cara ini kita memiliki sebagai hasilnya

Mengganti dengan nilai awal yang diberikan dan membersihkan dan (s)

Menggunakan fraksi sederhana kita dapat menulis ulang bagaimana persamaan mengikuti

Dan menerapkan transformasi terbalik dari Laplace memberi kita sebagai hasilnya

Dalam contoh -contoh ini kesimpulan yang salah dapat dicapai bahwa metode ini tidak jauh lebih baik daripada metode tradisional untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Dapat melayani Anda: proporsi

Keuntungan yang ditawarkan oleh Transformasi Laplace adalah bahwa itu tidak perlu.

Selain itu, saat menyelesaikan masalah nilai awal dengan metode ini, dari awal kami menggunakan kondisi awal, sehingga tidak perlu melakukan perhitungan lain untuk menemukan solusi tertentu.

Sistem Persamaan Diferensial

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menemukan solusi untuk persamaan diferensial biasa secara simultan, seperti yang ditunjukkan dalam contoh berikut.