Itu notasi faktorial Itu digunakan untuk menghitung produk yang pertama N angka alami, yaitu bilangan bulat positif, mulai dari 1 hingga nilai n. Itu dilambangkan dengan tanda kekaguman dan dipanggil N faktorial:

N! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅n

Menghitung faktorial angka adalah sederhana, misalnya, produk dari enam bilangan alami pertama dinyatakan oleh:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Gambar 1. Notasi faktorial dapat ditulis kompak dengan simbol produk dari k = 1 hingga n. Sumber: f. Zapata.

Faktor -faktor muncul pada isu -isu seperti teori binomial dan kombinatorial Newton yang sering digunakan dalam perhitungan probabilitas. Dalam hal ini, panggilan sering muncul Nomor kombinasi yang bisa dinyatakan sebagai faktorial.

Notasi N! Ini adalah penciptaan dokter Prancis dan matematika. Secara independen, faktorial juga ditemukan oleh ahli matematika Prancis lainnya: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Seperti halnya penjumlahan, ada cara untuk mengekspresikan produk dari bilangan alami N pertama dengan cara ringkasan:

 Simbol yang mirip dengan huruf kapital "pi" yang muncul dalam ekspresi, disebut "menghasilkan" atau "multiplikasi".

Properti Notasi Faktorial

Biarkan m dan n dua bilangan bulat positif, dipenuhi bahwa:

1. Dengan kenyamanan, disepakati untuk mendefinisikan 0! Sama dengan 1, yaitu: 0! = 1.
2. Nilai 1! = 1
3. Ya! = b!, Itu berarti bahwa a = b, asalkan a⋅b ≠ 0. Pengecualian adalah nilai 0 dan 1, karena 1! = 1 = 0!, Seperti dicatat, tetapi jelas bahwa 1 ≠ 0.
4. Ya m < n, entonces M! < N! dan maka dari itu M! Itu terkandung N!:
   N! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n
5. Untuk n lebih besar dari atau sama dengan 2 Anda harus:
   N! = N⋅ (n-1)!
   Karena menurut definisi:
   N! = [1⋅2⋅3 2 4⋅5… . (N-1)] ⋅n
   Ekspresi yang terkandung dalam tanda kurung persegi tepat (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - N!
   Memang, meningkatkan operasi sisi kanan kesetaraan:
   (N+1)! - N! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 ... N ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ x 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Dapat melayani Anda: Radio Konvergensi: Definisi, Contoh dan Latihan Diselesaikan

Co-Faktorial, Semi-Data atau Quasi-Phacutorials dari A Number

Semi -aktif dari jumlah alami tergantung pada apakah itu genap atau aneh. Dalam notasi, tanda ganda kekaguman atau faktorial ganda digunakan dan ditentukan oleh aturan berikut:

-Jika n genap:

N!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Jika n aneh:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Rumus untuk semi-faktorial

Rumus berikut membantu menghitung semi-faktori dengan lebih mudah, terutama dalam hal jumlah besar.

Berikut ini diamati untuk kasus bahwa N genap:

N!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4) ... 2⋅ (n/2) = (2⋅2⋅2⋅2....) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

Dan jika n itu aneh, maka:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Mengalikan dan membagi pada saat yang sama dengan [2 . 4 . 6 ... (n - 1)], ekspresi tetap:

N!! = [1Mero

Tetapi jumlah antara kunci adalah:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7… . (N -1) ⋅n

Dan ini n!, Seperti yang terlihat di atas, kemudian, saat mengganti:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

What Is In Square ditulis ulang seperti ini:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Karena itu:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Contoh

Properti di atas diterapkan untuk menyederhanakan ekspresi yang berisi faktorial, dengan mempertimbangkan bahwa, secara umum, ekspresi berikut tidak setara:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (M ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (M^N)! ≠ (m!)^N
5. (M!)! ≠ m!!

Contoh 1

Saat secara langsung menghitung faktorial ini:

hingga 5!

Itu dapat melayani Anda: probabilitas frekuensi: konsep, bagaimana itu dihitung dan contoh

b) 8!

c) 4!!

D) 11!!

E) 14!!

f) (2n+1)!!

Nilai diperoleh:

hingga 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

D) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

E) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8 2.6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Hasil a) hingga e) juga dapat dikuatkan dengan kalkulator. Kalkulator ilmiah memiliki fungsi untuk secara langsung menghitung nilai x!.

Seperti yang dapat dilihat, hasil faktorial, kecuali dengan jumlah kecil, adalah nilai yang tumbuh sangat cepat.

Contoh 2

Ekspresi fraksional berikut dapat disederhanakan saat menggunakan properti:

Latihan terpecahkan

Latihan diselesaikan 1

Periksa, menggunakan rumus co-factory, hasil ini diperoleh sebelumnya:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Solusi untuk

Karena 11 adalah ganjil, nilainya diganti dengan cermat dalam rumus yang sesuai:

N!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

Dan kemudian hasilnya disederhanakan oleh sifat -sifat faktorial:

sebelas!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Seperti yang diharapkan, hasil yang sama diperoleh dengan menghitung 11!! Namun, secara langsung, menggunakan formula ini menguntungkan untuk nilai N yang besar, karena memungkinkan untuk mengekspresikan faktorial ganda sebagai produk dari dua faktor.

Solusi b

Dengan menerapkan formula semi-pabrik untuk n tar, dan mengganti nilai, berikut ini diperoleh:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Latihan diselesaikan 2

Tulis operasi berikut sebagai quotients faktorial:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Solusi untuk

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Solusi b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Solusi c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Latihan diselesaikan 3

Ada 4 kotak warna: biru, oranye, ungu dan hijau, dan Anda ingin saling menemukan satu sama lain di atas meja. Berapa banyak cara kotak dapat ditempatkan?

Dapat melayani Anda: fungsi konstan: karakteristik, contoh, latihan Gambar 2. Berapa banyak kombinasi yang dapat dilakukan dengan menyelaraskan empat kotak warna?. Hasilnya dapat dinyatakan sebagai sumber nomor faktorial: f. Zapata.

Larutan

Ada beberapa cara untuk membuang kotak, misalnya memperbaiki warna terlebih dahulu. Berikut beberapa opsi:

-Biru, oranye, ungu dan hijau

-Biru, Hijau, Oranye dan Violet

-Biru, ungu, hijau dan oranye

Dan seterusnya. Pembaca dapat memverifikasi bahwa ada 6 kombinasi kotak yang dimulai dengan biru.

Perhatikan bahwa saat Anda mengatur warna sebagai opsi pertama, Anda dapat memperbaiki 3 warna lainnya. Setelah yang kedua diperbaiki, ada 2 untuk dipilih, dan setelah warna ini dipilih, hanya 1 warna yang tersisa.

Ini dapat diekspresikan dengan Produk: 4⋅3 ⋅2⋅1, yang merupakan faktorial dari 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Disimpulkan bahwa secara total, ada 24 kemungkinan kombinasi.

Dengan cara pengorganisasian ini disebut permutasi, di mana urutan elemen ditempatkan.

Latihan diselesaikan 4

Selesaikan persamaan berikut:

a) (x² + X)! = 720

Solusi untuk

Pada awalnya terlihat bahwa 6! = 720, oleh karena itu:

(X² + X)! = 6!

Kemudian, jumlah antara tanda kurung harus 6:

X² + x = 6

Ini adalah persamaan tingkat kedua dalam x:

X² + x - 6 = 0

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus umum atau dengan faktorisasi trinomial.

Menggunakan metode terakhir ini, trinomial diperkirakan sebagai berikut:

X² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Solusi persamaannya adalah x₁ = -3 dan x₂ = 2

Solusi b

Baik pembilang dan penyebut adalah faktor, dengan maksud untuk menyederhanakan paling banyak ekspresi bisa. Untuk memulai, dalam penyebut Anda bisa menjadi faktor (x+7)!

Dengan ini dimungkinkan untuk membatalkan istilah (x+7)!, tetap:

Sebagai (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Denominator dapat dibatalkan dan tetap:

(x+8)! = 14!

Properti 3 adalah persamaan sederhana:

x+8 = 14

x = 6

Referensi

1. Hoffman, J.G. Pemilihan masalah matematika. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Matematika diskrit. Seri Schaum. 3. Edisi. Bukit McGraw.
3. Matematika itu menyenangkan. Fungsi faktorial. Pulih dari: Mathisfun.com.
4. Smartick. Faktorial untuk apa kita menggunakannya?. Pulih dari: smartick.adalah.
5. Stewart, J. 2006. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.