<u>Properti Notasi Faktorial</u>
![<u>Properti Notasi Faktorial</u>](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_2/upropiedades-de-la-notacin-factorialu.jpg)
- 1771
- 175
- Frederick Pfeffer
Itu notasi faktorial Itu digunakan untuk menghitung produk yang pertama N angka alami, yaitu bilangan bulat positif, mulai dari 1 hingga nilai n. Itu dilambangkan dengan tanda kekaguman dan dipanggil N faktorial:
N! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅n
Menghitung faktorial angka adalah sederhana, misalnya, produk dari enam bilangan alami pertama dinyatakan oleh:
6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_2/upropiedades-de-la-notacin-factorialu.jpg)
Faktor -faktor muncul pada isu -isu seperti teori binomial dan kombinatorial Newton yang sering digunakan dalam perhitungan probabilitas. Dalam hal ini, panggilan sering muncul Nomor kombinasi yang bisa dinyatakan sebagai faktorial.
Notasi N! Ini adalah penciptaan dokter Prancis dan matematika. Secara independen, faktorial juga ditemukan oleh ahli matematika Prancis lainnya: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.
Seperti halnya penjumlahan, ada cara untuk mengekspresikan produk dari bilangan alami N pertama dengan cara ringkasan:
Simbol yang mirip dengan huruf kapital "pi" yang muncul dalam ekspresi, disebut "menghasilkan" atau "multiplikasi".
Properti Notasi Faktorial
Biarkan m dan n dua bilangan bulat positif, dipenuhi bahwa:
- Dengan kenyamanan, disepakati untuk mendefinisikan 0! Sama dengan 1, yaitu: 0! = 1.
- Nilai 1! = 1
- Ya! = b!, Itu berarti bahwa a = b, asalkan a⋅b ≠ 0. Pengecualian adalah nilai 0 dan 1, karena 1! = 1 = 0!, Seperti dicatat, tetapi jelas bahwa 1 ≠ 0.
- Ya m < n, entonces M! < N! dan maka dari itu M! Itu terkandung N!:
N! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n - Untuk n lebih besar dari atau sama dengan 2 Anda harus:
N! = N⋅ (n-1)!
Karena menurut definisi:
N! = [1⋅2⋅3 2 4⋅5… . (N-1)] ⋅n
Ekspresi yang terkandung dalam tanda kurung persegi tepat (N-1)! - N⋅n! = (n+1)! - N!
Memang, meningkatkan operasi sisi kanan kesetaraan:
(N+1)! - N! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 ... N ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
= [1⋅2⋅3⋅ x 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n
Co-Faktorial, Semi-Data atau Quasi-Phacutorials dari A Number
Semi -aktif dari jumlah alami tergantung pada apakah itu genap atau aneh. Dalam notasi, tanda ganda kekaguman atau faktorial ganda digunakan dan ditentukan oleh aturan berikut:
-Jika n genap:
N!! = 2⋅4⋅6⋅8… n
-Jika n aneh:
N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n
Rumus untuk semi-faktorial
Rumus berikut membantu menghitung semi-faktori dengan lebih mudah, terutama dalam hal jumlah besar.
Berikut ini diamati untuk kasus bahwa N genap:
N!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4) ... 2⋅ (n/2) = (2⋅2⋅2⋅2....) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =
= 2(N/2) . (N/2)!
Dan jika n itu aneh, maka:
N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n
Mengalikan dan membagi pada saat yang sama dengan [2 . 4 . 6 ... (n - 1)], ekspresi tetap:
N!! = [1Mero
Tetapi jumlah antara kunci adalah:
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7… . (N -1) ⋅n
Dan ini n!, Seperti yang terlihat di atas, kemudian, saat mengganti:
N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]
What Is In Square ditulis ulang seperti ini:
[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!
Karena itu:
N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!
Contoh
Properti di atas diterapkan untuk menyederhanakan ekspresi yang berisi faktorial, dengan mempertimbangkan bahwa, secara umum, ekspresi berikut tidak setara:
- (m ± n)! ≠ m! ± n!
- (m x n)! ≠ m! x n!
- (M ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
- (MN)! ≠ (m!)N
- (M!)! ≠ m!!
Contoh 1
Saat secara langsung menghitung faktorial ini:
hingga 5!
Itu dapat melayani Anda: probabilitas frekuensi: konsep, bagaimana itu dihitung dan contohb) 8!
c) 4!!
D) 11!!
E) 14!!
f) (2n+1)!!
Nilai diperoleh:
hingga 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120
b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320
c) 4!! = 2⋅4 = 8
D) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395
E) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8 2.6⋅4⋅2 = 645120
f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)
Hasil a) hingga e) juga dapat dikuatkan dengan kalkulator. Kalkulator ilmiah memiliki fungsi untuk secara langsung menghitung nilai x!.
Seperti yang dapat dilihat, hasil faktorial, kecuali dengan jumlah kecil, adalah nilai yang tumbuh sangat cepat.
Contoh 2
Ekspresi fraksional berikut dapat disederhanakan saat menggunakan properti:
Latihan terpecahkan
Latihan diselesaikan 1
Periksa, menggunakan rumus co-factory, hasil ini diperoleh sebelumnya:
a) 11!! = 10395
b) 14!! = 645120
Solusi untuk
Karena 11 adalah ganjil, nilainya diganti dengan cermat dalam rumus yang sesuai:
N!! = n! ÷ 2[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!
Dan kemudian hasilnya disederhanakan oleh sifat -sifat faktorial:
sebelas!! = 11! ÷ 2[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 25 . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395
Seperti yang diharapkan, hasil yang sama diperoleh dengan menghitung 11!! Namun, secara langsung, menggunakan formula ini menguntungkan untuk nilai N yang besar, karena memungkinkan untuk mengekspresikan faktorial ganda sebagai produk dari dua faktor.
Solusi b
Dengan menerapkan formula semi-pabrik untuk n tar, dan mengganti nilai, berikut ini diperoleh:
14!!= 2(14/2) ⋅ (14/2)! = 27 ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120
Latihan diselesaikan 2
Tulis operasi berikut sebagai quotients faktorial:
a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3
b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)
c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)
Solusi untuk
7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!
Solusi b
N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!
Solusi c
(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!
Latihan diselesaikan 3
Ada 4 kotak warna: biru, oranye, ungu dan hijau, dan Anda ingin saling menemukan satu sama lain di atas meja. Berapa banyak cara kotak dapat ditempatkan?
Dapat melayani Anda: fungsi konstan: karakteristik, contoh, latihan![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_2/upropiedades-de-la-notacin-factorialu_2.jpg)
Larutan
Ada beberapa cara untuk membuang kotak, misalnya memperbaiki warna terlebih dahulu. Berikut beberapa opsi:
-Biru, oranye, ungu dan hijau
-Biru, Hijau, Oranye dan Violet
-Biru, ungu, hijau dan oranye
Dan seterusnya. Pembaca dapat memverifikasi bahwa ada 6 kombinasi kotak yang dimulai dengan biru.
Perhatikan bahwa saat Anda mengatur warna sebagai opsi pertama, Anda dapat memperbaiki 3 warna lainnya. Setelah yang kedua diperbaiki, ada 2 untuk dipilih, dan setelah warna ini dipilih, hanya 1 warna yang tersisa.
Ini dapat diekspresikan dengan Produk: 4⋅3 ⋅2⋅1, yang merupakan faktorial dari 4!:
4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24
Disimpulkan bahwa secara total, ada 24 kemungkinan kombinasi.
Dengan cara pengorganisasian ini disebut permutasi, di mana urutan elemen ditempatkan.
Latihan diselesaikan 4
Selesaikan persamaan berikut:
a) (x2 + X)! = 720
Solusi untuk
Pada awalnya terlihat bahwa 6! = 720, oleh karena itu:
(X2 + X)! = 6!
Kemudian, jumlah antara tanda kurung harus 6:
X2 + x = 6
Ini adalah persamaan tingkat kedua dalam x:
X2 + x - 6 = 0
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus umum atau dengan faktorisasi trinomial.
Menggunakan metode terakhir ini, trinomial diperkirakan sebagai berikut:
X2 + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0
Solusi persamaannya adalah x1 = -3 dan x2 = 2
Solusi b
Baik pembilang dan penyebut adalah faktor, dengan maksud untuk menyederhanakan paling banyak ekspresi bisa. Untuk memulai, dalam penyebut Anda bisa menjadi faktor (x+7)!
Dengan ini dimungkinkan untuk membatalkan istilah (x+7)!, tetap:
Sebagai (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Denominator dapat dibatalkan dan tetap:
(x+8)! = 14!
Properti 3 adalah persamaan sederhana:
x+8 = 14
x = 6
Referensi
- Hoffman, J.G. Pemilihan masalah matematika. Ed. Spphinx.
- Lipschutz, s. 2007. Matematika diskrit. Seri Schaum. 3. Edisi. Bukit McGraw.
- Matematika itu menyenangkan. Fungsi faktorial. Pulih dari: Mathisfun.com.
- Smartick. Faktorial untuk apa kita menggunakannya?. Pulih dari: smartick.adalah.
- Stewart, J. 2006. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.
- « Fungsi pertumbuhan bagaimana mengidentifikasinya, contoh, latihan
- 30 penemuan Meksiko terpenting »