Variabel acak diskrit

Kami menjelaskan apa itu variabel acak yang bijaksana, karakteristiknya, kami memberikan contoh dan menyelesaikan latihan

Apa itu variabel acak yang bijaksana?

A variabel acak diskrit Ini adalah nilai numerik yang diperoleh secara acak, sebagai hasil dari percobaan dan yang hanya membutuhkan nilai terbatas atau akuntansi. Ini berarti bahwa, mengingat dua nilai berturut -turut dari variabel, tidak ada nilai perantara di antara mereka.

Contoh variabel diskrit adalah jumlah kelopak bunga, berapa banyak wajah (atau salib) secara bersamaan adalah dua koin, jumlah anggota atau anak -anak dari keluarga, jumlah orang yang tinggal di rumah dan banyak lagi.

Dalam semua kasus, hasil yang melakukan percobaan adalah akuntansi. Variabel acak yang disebut "x = jumlah anak -anak dari suatu keluarga" dapat didefinisikan, dan variabel ini dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3 ..

Jadi, untuk kasus umum, variabel acak yang bijaksana diidentifikasi oleh:

X = x₁, X₂, X₃... X_k

Dimana x₁, X₂, X₃... adalah hasil yang mungkin dari percobaan.

Seringkali tertarik untuk mengetahui kemungkinan terjadinya masing -masing hasil yang mungkin, dilambangkan sebagai:

P₁ = P (x = x₁)

P₂ = P (x = x₂)
.
.
.

Dan seterusnya untuk setiap nilai x. Indeks "i" bervariasi dari 1 ke k: i = 1,2,3 ... k.

Daftar ini, yang berisi probabilitas dari setiap hasil yang mungkin dari percobaan, disebut distribusi kemungkinan salah satu fungsi probabilitas, Asalkan variabel acak adalah numerik, probabilitas masing -masing peristiwa adalah antara 0 dan 1 dan jumlah semua probabilitas sama dengan 1.

Contoh dari variabel acak diskrit

Variabel acak diskrit selalu numerik dan akuntansi. Mereka biasanya mengukur berapa kali peristiwa terjadi, misalnya:

• Jumlah panggilan yang diterima oleh pusat panggilan pada suatu sore.
• Jumlah setoran bank yang dibuat dalam satu hari.
• Luncurkan dadu dan baca nomor yang muncul di wajah atas.
• Jumlah wajah yang keluar saat meluncurkan dua mata uang yang identik.
• Siswa yang menyetujui ujian Aljabar I, dipilih secara acak dari sekelompok 100 mahasiswa teknik dari universitas.
• Anggota dewasa dari kawanan gajah di cadangan Afrika.
• Jumlah anak per keluarga di kota tertentu.
• Orang yang menghadiri fungsi film tengah malam.
• Jumlah mobil yang melewati korban di jalan raya.

Dapat melayani Anda: Produk Cruz

Nilai utuh dan fraksional

Semua variabel acak diskrit yang disebutkan mengambil seluruh nilai. Namun, variabel acak diskrit dapat didefinisikan dengan nilai fraksional, misalnya, variabel acak F yang diberikan oleh:

F = fraksi potongan yang rusak dengan secara acak memilih 50 elemen banyak

Nilai yang mungkin adalah sebagai berikut:

• Tidak ada potongan yang rusak: f₁= 0
• Hanya 1 potongan yang rusak dari 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Dua bagian yang rusak ditemukan dalam 50: f₃= 2/50 = 0.04
• Dan seterusnya, sampai kasing di mana 50 bagian yang dipilih buruk: f₅₁ = 50/50 = 1

Latihan terpecahkan

Latihan 1: Identifikasi variabel acak diskrit

Mereka memiliki variabel acak yang diberikan oleh:

X = Jumlah gempa bumi setahun, terjadi di zona geografis tertentu

Y = panjang tepat kaki manusia

Z = ukuran alas kaki dewasa

R = durasi panggilan ke a Pusat panggilan

Adalah semua variabel acak diskrit? Membenarkan jawabannya.

Larutan

Variabel X dan Z bijaksana, karena jumlah gempa bumi dalam setahun adalah jumlah akuntansi. Di sisi lain, ukuran alas kaki terbatas, penomoran dapat bervariasi sesuai dengan negara, misalnya 6, 6.5, 7 ..., tetapi juga jumlah yang terbatas.

Di sisi lain, panjang tepat kaki manusia dapat mengambil nilai apa pun. Misalnya, antara dua orang yang mengukur kaki 23.5 dan 23.8 cm, selalu mungkin untuk menemukan orang lain yang mengukur kakinya, katakan 23.6 cm. Jenis variabel ini juga acak, tetapi terus berlanjut.

Adapun waktu yang berlangsung selama panggilan telepon, ini bukan variabel yang bijaksana, karena ada nilai tak terbatas antara dua kali t₁ dan T₂ durasi.

Dapat melayani Anda: bilangan bulat

Latihan 2: Dua Koin Simultan

Eksperimen terdiri dari secara bersamaan meluncurkan dua mata uang yang identik, yang variabel acaknya x = jumlah wajah didefinisikan. Menemukan:

a) nilai -nilai yang diambil x.

b) distribusi probabilitas

Solusi untuk

Hasil yang mungkin dari percobaan adalah sebagai berikut: tidak ada mahal (dua segel), A mahal dan a segel, A segel dan satu mahal Dan akhirnya, dua wajah.

Menyangkal wajah sebagai C dan segel sebagai s, hasilnya dirangkum sebagai berikut:

Ω = (s, s); (C, S); (S, C); (DC)

Set ini dikenal sebagai ruang sampel.

Oleh karena itu, variabel acak x mengambil nilai: 0 (tidak ada wajah), 1 (satu wajah di kedua koin) dan 2 (harganya mahal di kedua koin). Karena hasilnya adalah akuntansi, variabel, selain acak, bijaksana:

X = 0,1,2

Solusi b

Saat koin diluncurkan, jika jujur, mahal salah satu segel Mereka memiliki kesempatan yang sama untuk pergi, sama dengan ½. Oleh karena itu, jika dua koin diluncurkan secara bersamaan, karena hasilnya independen, karena koin tidak saling mempengaruhi, probabilitas memperoleh dua sisi (atau dua salib) mengalikan probabilitas masing -masing peristiwa.

Jika dua salib diperoleh, itu berarti tidak ada wajah yang keluar:

P (2 silang = 0 wajah) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Di sisi lain, probabilitas kombinasi CS atau SC adalah jumlah dari dua probabilitas yang menguntungkan:

P (1 wajah) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Akhirnya, probabilitas mendapatkan dua wajah adalah:

P (2 wajah) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Perhatikan bahwa distribusi probabilitas ini memenuhi persyaratan yang ditentukan di awal:

Probabilitas setiap peristiwa adalah antara 0 dan 1.

Dengan menambahkan tiga probabilitas, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Dapat melayani Anda: vektor kolineal Histogram menunjukkan distribusi probabilitas untuk peluncuran dua mata uang yang identik. Dalam sumbu horizontal, variabel acak ditempatkan, pusat bilah sesuai dengan nilai variabel. Dan pada sumbu vertikal probabilitas ditempatkan, dalam hal ini, persentase. Sumber: f. Zapata.

Latihan 3: DAnda melempar dadu yang seimbang

Eksperimen terdiri dari melempar dadu yang seimbang dua kali. Variabel acak yang didefinisikan adalah:

X = berapa kali 1 keluar

a) Cantumkan hasil yang mungkin dari percobaan dan tentukan nilai variabel acak.

b) Temukan distribusi probabilitas Anda.

Solusi untuk

Karena dadu yang seimbang, semua wajah memiliki probabilitas yang sama untuk pergi, dan karena dadu adalah kubus dengan enam wajah, probabilitas ini sama dengan 1/6.

Hasil yang mungkin dari percobaan dapat disintesis sebagai berikut:

• Anda tidak mendapatkan 1 atau sekali: x₁= 0
• 1 hanya keluar sekali: x₂= 1
• Kedua peluncuran adalah 1: x₃= 2

Oleh karena itu, variabel acak x bijaksana dan memiliki tiga nilai:

X = 0,1,2

Solusi b

Adapun distribusi probabilitas dari variabel ini, hal pertama adalah memperhatikan bahwa himpunan semua hasil yang mungkin terdiri dari 36 pasangan, yang membentuk ruang sampel:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3) ... (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2) ... (4.6); (5,1), (5,2) ... (5.6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Sekarang pasangan itu dihitung di mana 1 tidak diperoleh:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3) ... (2,6); (3,2), (3,3) ...; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3)…

Secara total, ada 25 pasangan, di mana 1 tidak keluar, oleh karena itu, probabilitas mendapatkan salah satu dari rekan -rekan ini adalah:

P₁ = P (x = 0) = 25/36

-Kemudian, rekan -rekan di mana saya hanya muncul sekali:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Karena itu ada 10 pasang:

P₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Akhirnya, hanya ada satu pasangan di mana saya keluar dua kali: (1,1). Jadi:

P₃ = P (x = 2) = 1/36