Perhitungan pendekatan menggunakan diferensial

Suatu pendekatan dalam matematika adalah angka yang bukan nilai pasti dari sesuatu, tetapi sedekat ini yang dianggap berguna seperti nilai pasti yang dikatakan.

Ketika dalam pendekatan matematika dilakukan, itu karena sulit secara manual (atau kadang -kadang tidak mungkin) untuk mengetahui nilai yang tepat dari apa yang Anda inginkan.

Alat utama saat bekerja dengan pendekatan adalah diferensial suatu fungsi. Perbedaan fungsi F, yang dilambangkan dengan ΔF (x), tidak lebih dari turunan dari fungsi f dikalikan dengan perubahan dalam variabel independen, yaitu, Δf (x) = f '(x)*Δx.

Terkadang DF dan DX digunakan sebagai ganti ΔF dan ΔX.

Pendekatan menggunakan diferensial

Rumus yang diterapkan untuk melakukan perkiraan melalui diferensial muncul hanya dari definisi turunan fungsi sebagai batas.

Formula ini diberikan oleh:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Di sini dipahami bahwa Δx = x-x0, oleh karena itu, x = x0+Δx. Menggunakan ini formula dapat ditulis ulang sebagai

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Perlu dicatat bahwa "x0" bukan nilai yang sewenang -wenang, tetapi itu adalah nilai yang begitu f (x0) mudah diketahui; Selain itu, "f (x)" hanyalah nilai yang ingin kami dekati.

Apakah ada pendekatan yang lebih baik?

Jawabannya iya. Yang sebelumnya adalah yang paling sederhana dari pendekatan yang disebut "pendekatan linier".

Untuk pendekatan kualitas yang lebih baik (kesalahan yang dibuat lebih rendah), polinomial dengan lebih banyak turunan yang disebut "polinomial taylor" digunakan, serta metode numerik lainnya seperti metode Newton-Raphson antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain, antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain antara lain tidak.

Strategi

Strategi untuk diikuti adalah:

- Pilih fungsi F yang memadai untuk melakukan pendekatan dan nilai "x" yang f (x) adalah nilai yang ingin Anda perkirakan.

- Pilih nilai "x0", dekat dengan "x", sehingga f (x0) mudah dihitung.

- Hitung Δx = x-x0.

- Hitung fungsi yang diturunkan dan f '(x0).

- Ganti data dalam formula.

Latihan perkiraan yang diselesaikan

Dalam apa yang berlanjut ada sejumlah latihan di mana perkiraan dilakukan dengan menggunakan diferensial.

1. Latihan Pertama

Perkiraan √3.

Larutan

Mengikuti strategi Anda harus memilih fungsi yang memadai. Dalam hal ini dapat dilihat bahwa fungsi yang akan dipilih harus f (x) = √x dan nilai untuk perkiraan adalah f (3) = √3.

Sekarang Anda harus memilih nilai "x0" yang dekat dengan "3" sehingga f (x0) mudah dihitung. Jika "x0 = 2" dipilih, ia harus "x0" dekat dengan "3" tetapi f (x0) = f (2) = √2 tidak mudah untuk dihitung.

Nilai "x0" yang sesuai adalah "4", karena "4" dekat dengan "3" dan juga f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jika "x = 3" dan "x0 = 4", maka Δx = 3-4 = -1. Sekarang turunan F dihitung. Yaitu, f '(x) = 1/2*√x, sehingga f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Mengganti semua nilai dalam rumus diperoleh:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Jika kalkulator digunakan, diperoleh bahwa √3≈1.73205 ... Ini menunjukkan bahwa hasil sebelumnya adalah perkiraan yang baik dari nilai riil.

2. Latihan kedua

Perkiraan √10.

Larutan

Seperti sebelum dipilih sebagai fungsi f (x) = √x dan dalam hal ini x = 10.

Nilai x0 yang harus dipilih pada kesempatan ini adalah "x0 = 9". Itu kemudian perlu.

Saat mengevaluasi dalam rumus itu diperoleh itu

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Menggunakan kalkulator diperoleh bahwa √10 ≈ 3.1622776… di sini Anda juga dapat melihat bahwa pendekatan yang baik diperoleh sebelumnya.

3. Latihan ketiga

Kira -kira ³√10, di mana ³√ menunjukkan akar kubik.

Larutan

Jelas, fungsi yang harus digunakan dalam latihan ini adalah f (x) = ³√x dan nilai "x" harus "10".

Nilai yang dekat dengan "10" sedemikian rupa sehingga akar kubiknya diketahui adalah "x0 = 8". Maka Anda harus Δx = 10-8 = 2 dan f (x0) = f (8) = 2. Anda juga harus f '(x) = 1/3*³√x², dan akibatnya /12.

Mengganti data dalam rumus diperoleh itu:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Kalkulator mengatakan bahwa ³√10 ≈ 2.15443469 ... Oleh karena itu, perkiraan yang ditemukan bagus.

4. Latihan Keempat

Kira -kira ln (1.3), di mana "ln" menunjukkan fungsi logaritma alami.

Larutan

Pertama dipilih sebagai fungsi f (x) = ln (x) dan nilai "x" adalah 1.3. Sekarang, mengetahui sedikit tentang fungsi logaritma, Anda dapat mengetahui bahwa ln (1) = 0, dan juga "1" dekat dengan "1.3 ". Oleh karena itu, "x0 = 1" dipilih dan Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Di sisi lain, f '(x) = 1/x, sehingga f' (1) = 1. Saat mengevaluasi dalam formula yang diberikan, Anda harus:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Saat menggunakan kalkulator, Anda harus LN (1.3) ≈ 0.262364 ... sehingga perkiraan yang dibuat bagus.