Konsep Distribusi Binomial, Persamaan, Karakteristik, Contoh

Itu distribusi binomial Ini adalah distribusi probabilitas dimana probabilitas kejadian dihitung, asalkan terjadi di bawah dua modalitas: keberhasilan atau kegagalan.

Denominasi ini (keberhasilan atau kegagalan) benar -benar sewenang -wenang, karena mereka tidak selalu berarti hal baik atau buruk. Selama artikel ini kita akan menunjukkan bentuk matematika dari distribusi binomial dan kemudian makna setiap istilah akan dijelaskan secara rinci.

Gambar 1. Peluncuran dadu adalah fenomena yang dapat dimodelkan dengan distribusi binomial. Sumber: Pixabay.

[TOC]

Persamaan

 Persamaannya adalah sebagai berikut:

Dengan x = 0, 1, 2, 3 .. .N, dimana:

- P (x) adalah probabilitas memiliki persis X keberhasilan antara N upaya atau cobaan.

- X Ini adalah variabel yang menggambarkan fenomena yang menarik, sesuai dengan jumlah keberhasilan.

- N Jumlah upaya

- P Itu adalah probabilitas keberhasilan dalam upaya 1

- Q Oleh karena itu, probabilitas kegagalan dalam upaya 1 Q = 1 - p

Simbol kekaguman "!“Ini digunakan untuk notasi faktorial, sehingga:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Dan seterusnya.

Konsep

Distribusi binomial sangat tepat untuk menggambarkan situasi di mana suatu peristiwa terjadi atau tidak terjadi. Jika itu terjadi, itu adalah keberhasilan dan jika tidak, maka itu adalah kegagalan. Selain itu, probabilitas keberhasilan harus selalu konstan.

Ada fenomena yang sesuai dengan kondisi ini, misalnya peluncuran mata uang. Dalam hal ini, kita dapat mengatakan bahwa "kesuksesan" adalah untuk mendapatkan wajah. Probabilitasnya adalah ½ dan tidak berubah, tidak peduli berapa kali mata uang diluncurkan.

Peluncuran dadu yang jujur ​​adalah contoh yang baik, serta dikategorikan dalam potongan -potongan bagus dan potongan yang rusak produksi tertentu dan mendapatkan merah, bukan hitam.

Dapat melayani Anda: Sistem Persamaan: Metode Solusi, Contoh, Latihan

Karakteristik

Kita dapat meringkas karakteristik distribusi binomial sebagai berikut:

- Setiap peristiwa atau pengamatan, diekstraksi dari populasi yang tak terbatas tanpa penggantian atau populasi terbatas dengan penggantian.

- Hanya dua opsi yang dipertimbangkan, saling eksklusif: keberhasilan atau kegagalan, seperti yang dijelaskan di awal.

- Probabilitas keberhasilan harus konstan dalam pengamatan apa pun yang dilakukan.

- Hasil dari acara apa pun tidak tergantung pada acara lain.

- Rata -rata distribusi binomial adalah N.P

- Deviasi standar adalah:

Contoh sebelumnya memenuhi persyaratan ini, meskipun ada batasan tertentu untuk diterapkan.

Contoh aplikasi

Mari kita ambil acara sederhana, yang bisa mendapatkan 2 wajah 5 dengan meluncurkan dadu yang jujur ​​3 kali. Probabilitas apa yang dalam 3 peluncuran 2 wajah dari 5 diperoleh?

Ada beberapa cara untuk mencapainya, misalnya bahwa:

- Dua rilis pertama adalah 5 dan yang terakhir tidak.

- Yang pertama dan yang terakhir adalah 5 tetapi tidak dari media.

- Dua peluncuran terakhir adalah 5 dan yang pertama tidak.

Ambil contoh urutan pertama yang dijelaskan dan menghitung probabilitas kejadiannya. Probabilitas mendapatkan 5 wajah dalam peluncuran pertama adalah 1/6, dan juga di kedua, karena mereka adalah peristiwa independen.

Probabilitas mendapatkan wajah lain dari 5 dalam peluncuran terakhir adalah 1 - 1/6 = 5/6. Oleh karena itu probabilitas bahwa urutan ini akan keluar, adalah produk probabilitas:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Bagaimana dengan dua urutan lainnya? Mereka memiliki probabilitas yang identik: 0.023.

Dan karena kami memiliki total 3 urutan yang berhasil, probabilitas total adalah:

P (2 menghadapi 5 dalam 3 peluncuran) = jumlah urutan yang mungkin x probabilitas urutan tertentu = 3 x 0.023 = 0.069.

Sekarang mari kita coba binomial, di mana itu dilakukan:

Dapat melayani Anda: kotak mackinder

x = 2 (dapatkan 2 sisi dari 5 dalam 3 peluncuran adalah keberhasilan)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Latihan terpecahkan

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan latihan distribusi binomial. Seperti yang telah kita lihat, yang paling sederhana dapat diselesaikan dengan menceritakan berapa banyak suksesi sukses yang ada dan kemudian dikalikan dengan probabilitas masing -masing.

Namun, ketika ada banyak pilihan, angka menjadi lebih besar dan lebih baik menggunakan formula.

Dan jika angkanya bahkan lebih tinggi, ada anak laki -laki dari distribusi binomial. Namun, saat ini, mereka menjadi usang demi banyak jenis kalkulator yang memfasilitasi perhitungan.

Latihan 1

Pasangan memiliki anak dengan probabilitas 0,25 untuk memiliki darah jenis atau. Pasangan ini memiliki total 5 anak. Balas: a) Apakah situasi ini sesuai dengan distribusi binomial?, b) Berapa probabilitas yang tepatnya 2 dari mereka adalah jenis atau?

Larutan

a) Distribusi binomial disesuaikan, karena memenuhi persyaratan yang ditetapkan pada bagian sebelumnya. Ada dua pilihan: memiliki jenis darah atau "keberhasilan", sementara tidak memilikinya adalah "kegagalan", dan semua pengamatan independen.

b) Anda memiliki distribusi binomial:

Di mana nilai -nilai berikut diganti:

x = 2 (dapatkan 2 anak dengan darah tipe O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Contoh 2

Universitas menyatakan bahwa 80% siswa yang termasuk dalam lulusan tim bola basket universitas. Investigasi memeriksa catatan akademik dari 20 siswa milik tim bola basket yang terdaftar di universitas sejak lama.

Dari 20 siswa ini, 11 menyelesaikan perlombaan dan 9 meninggalkan studi.

Gambar 2. Hampir semua siswa yang bermain untuk tim universitas berhasil lulus. Sumber: Pixabay.

Jika pernyataan universitas itu benar, jumlah siswa yang bermain basket dan yang berhasil lulus, antara 20, harus memiliki distribusi binomial dengan N = 20 Dan P = 0,8. Berapa probabilitas yang tepatnya 11 dari 20 pemain lulusan?

Dapat melayani Anda: sudut di lingkar: jenis, sifat, latihan terpecahkan

Larutan

Dalam distribusi binomial:

Nilai -nilai berikut harus diganti:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Contoh 3

Para peneliti melakukan penelitian untuk menentukan apakah ada perbedaan yang signifikan dalam tingkat kelulusan di antara mahasiswa kedokteran yang dirawat melalui program khusus dan mahasiswa kedokteran yang dirawat melalui kriteria penerimaan reguler.

Ditemukan bahwa tingkat kelulusan adalah 94% untuk siswa yang diterima melalui program khusus (berdasarkan data dari data Jurnal Asosiasi Medis Amerika).

Jika 10 siswa dari program khusus dipilih secara acak, temukan probabilitas bahwa setidaknya 9 dari mereka lulus.

b) Apakah tidak biasa memilih 10 siswa secara acak dari program khusus dan memperolehnya hanya 7 dari mereka yang lulus?

Larutan

Probabilitas bahwa seorang siswa yang diterima melalui lulusan program khusus adalah 94/100 = 0.94. Mereka dipilih N = 10 Siswa dari program khusus dan Anda ingin mengetahui probabilitas bahwa setidaknya 9 dari mereka lulus.

Nilai -nilai berikut diganti dalam distribusi binomial:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Ini adalah probabilitas bahwa tepatnya 9 akan lulus, tetapi mereka juga bisa lulus tepat 10:

 P (setidaknya 9 lulusan) = p (9) + p (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

B)
Ya itu tidak biasa, karena probabilitas yang diperoleh cukup kecil.

Referensi

1. Berenson, m. 1985. Statistik untuk Administrasi dan Ekonomi. Inter -American s.KE.
2. Mathworks. Distribusi binomial. Pulih dari: is.Mathworks.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statistik untuk Administrasi dan Ekonomi. 3. edisi. Grup Editorial Iberoamerica.
4. Moore, d. 2005. Statistik dasar diterapkan. 2nd. Edisi.
5. Triola, m. 2012. Statistik dasar. 11. Ed. Pendidikan Pearson.
6. Wikipedia. Distribusi binomial. Pulih dari: is.Wikipedia.org