Latihan faktorisasi yang diselesaikan

Itu anjak Ini adalah prosedur aljabar yang dengannya ekspresi aljabar menjadi produk dari istilah yang lebih sederhana. Dengan cara ini, banyak perhitungan yang disederhanakan.

Latihan faktorisasi membantu memahami teknik ini, yang banyak digunakan dalam matematika dan terdiri dalam proses menulis jumlah sebagai produk dari istilah tertentu.

Gambar 1.- Melalui anjak piutang ekspresi aljabar yang diperluas diubah menjadi produk dari faktor -faktor yang nyaman untuk bekerja. Sumber: f. Zapata.

Untuk faktor yang memadai, Anda harus mulai dengan melihat apakah ada huruf dan angka yang sama untuk setiap istilah. Misalnya ekspresi 5x⁴ -10x³ + 25x², yang berisi tiga istilah, dapat menjadi faktor yang memperhatikan bahwa "x" diulangi di masing -masing, meskipun dengan kekuatan yang berbeda. Adapun koefisien numerik, semuanya merupakan kelipatan 5.

Jadi, faktor umum terdiri dari:

-Produk antara pembagi umum maksimum koefisien dan

-Kekuatan sekecil apa pun yang muncul.

Dalam contoh, faktor umum adalah:

5x²

Dan ungkapan tetap seperti ini:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Pembaca dapat memeriksa melalui aplikasi properti distributif, bahwa kedua ekspresi itu setara.

[TOC]

Metode faktorisasi: Perbedaan kuadrat

Tidak semua ekspresi aljabar menjadi anjenya seperti yang baru saja kita lakukan, jadi di sini kita akan menunjukkan cara menggunakan beberapa metode dengan selangkah demi selangkah.

Dengan demikian, dengan sedikit latihan, pembaca belajar menerapkan metode yang paling nyaman dalam kasus -kasus seperti:

-Faktorisasi binomial dan trinomial.

-Faktorisasi polinomial.

-Perhitungan akar polinomial.

Gambar Gambar 1 sangat membantu ketika pertanyaan muncul: jenis faktorisasi apa yang digunakan untuk latihan?

Kami akan mulai dengan perbedaan kotak, yang formula 1 tabel diterapkan.

- Latihan diselesaikan 1

Faktor Binomial 16x² - 49

Larutan

Dalam contoh ini kekuatan tidak diulang dan koefisien numerik bukan sepupu satu sama lain, seperti dalam contoh prinsip. Namun, jika diverifikasi bahwa ekspresi yang diberikan adalah a Perbedaan kotak, Formula 1 dapat diterapkan.

Yang diperlukan hanyalah mengidentifikasi persyaratan ke Dan B:

ke² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
B² = 49 → B = 49 = 7

Setelah diidentifikasi, lanjutkan untuk mengganti formula:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Dapat melayani Anda: pengurangan istilah serupa

Dan ekspresi tetap sebagai produk dua faktor.

Dalam hal ini dan dalam semua kasus yang mereka ikuti, pembaca dapat menguatkan bahwa jika ia mengembangkan hasilnya dengan properti distributif, ekspresi aljabar asli diperoleh kembali.

Faktorisasi trinomial persegi yang sempurna

Kasus -kasus ini sesuai dengan rumus 2 dan 3 dari Gambar 1. Namun, sebelum menerapkannya, harus diverifikasi bahwa ekspresi terpenuhi bahwa:

-Dua istilah adalah kotak yang sempurna ke Dan B.

-Istilah yang tersisa adalah produk ganda dari A dan B, yaitu: 2ab.

Jika di atas benar, itu adalah trinomial persegi yang sempurna dan formulas diterapkan secara langsung.

- Latihan diselesaikan 2

Faktor trinomial: x² + 12x + 36

Larutan

Ekspresi ini tampaknya tepat untuk menerapkan Formula 2 di dalam kotak, tetapi pertama -tama kita harus memverifikasi bahwa itu adalah trinomial persegi yang sempurna. Pertama diamati bahwa istilah pertama dan ketiga adalah kotak sempurna:

• X² Itu adalah kuadrat sempurna dari x, karena (x)² = x²
• 36 adalah kuadrat sempurna 6, sejak 6² = 36

Jadi:

a = x
B = 6

Dan akhirnya harus diverifikasi bahwa istilah yang tersisa adalah 2AB, dan memang:

12x = 2⋅x⋅6

Ini hanya mengurangi anjak sesuai dengan formula:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Latihan diselesaikan 3

Tulis ekspresi 4x² -20x + 25 dalam bentuk faktorisasi.

Larutan

Karena ada istilah tanda negatif dapat melayani Formula 3 di dalam kotak, namun sebelum harus diverifikasi bahwa itu adalah trinomial persegi yang sempurna:

• 4x² Itu adalah persegi 2x, karena (2x)² = 4x², Oleh karena itu a = 2x
• 25 sama dengan 5², lalu b = 5
• Istilah 20x sama dengan 2⋅2x⋅5 = 20x

Faktorisasi tetap seperti ini:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Jumlah dan perbedaan kubus

Saat Anda memiliki jumlah atau perbedaan kubus, rumus 4 atau 5 berlaku tergantung pada kasusnya.

- Latihan diselesaikan 4

Faktorisasi 8x³ - 27

Larutan

Kami memiliki perbedaan dalam kubus di sini, jadi mengekstraksi akar kubik dari setiap istilah:

Kemudian a = 2x dan b = 3.

Formula 4 diikuti, yang sesuai untuk perbedaan kubus:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Faktorisasi dengan mengelompokkan istilah

Pada gambar berikut ada polinomial dengan empat istilah yang harus diperkirakan. Tiga istilah pertama memiliki kesamaan "X", tetapi yang terakhir tidak. Kita juga tidak dapat mengatakan bahwa koefisien numerik adalah kelipatan dari faktor yang sama.

Dapat melayani Anda: Cembung Poligon: Definisi, Elemen, Properti, Contoh

Namun, kami akan mencoba mengelompokkan istilah dalam dua bagian dengan tanda kurung, ditunjukkan dengan panah kuning: dua istilah pertama memiliki kesamaan dengan "x", sedangkan dua yang terakhir memiliki kesamaan bahwa koefisien adalah kelipatan 5.

Kami memperhitungkan kedua kelompok ini (panah biru). Sekarang pembaca harus mengamati bahwa ketika memperhitungkan, faktor umum baru keluar: tanda kurung (3x+2).

Faktor sentuh untuk kedua kalinya (panah merah muda), karena (3x+2) adalah faktor umum x dan 5.

Gambar 2. Contoh cara memperhitungkan istilah pengelompokan. Sumber: f. Zapata.

Akar polinomial

Adalah nilai variabel yang membatalkan polinomial. Jika itu adalah polinomial yang variabelnya adalah "X", seperti yang telah kita lihat, karena ini tentang menemukan nilai -nilai x sehingga saat mengganti, nilai numerik yang diperoleh adalah 0.

Faktorisasi adalah metode untuk menemukan nol dalam beberapa polinomial. Mari kita lihat contoh:

- Latihan diselesaikan 5

Temukan nol trinomial x² -2x - 3

Larutan

Kami memperhitungkan trinomial, tetapi ini bukan trinomial persegi yang sempurna. Namun kita dapat melakukan prosedur dengan tanteo. Kami menulis trinomial sebagai produk dari dua faktor, seperti ini:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

Dalam tanda kurung pertama, tanda trinomial pertama ditempatkan, terlihat dari kiri ke kanan. Ini adalah tanda (-). Dalam tanda kurung kedua, produk dari dua tanda yang muncul setelah istilah dengan x²:

(-) x (-) = +

Dengan cara ini faktorisasi akan terlihat:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Sekarang Anda harus mencari dua angka A dan B yang akan dimasukkan ke dalam ruang kosong. Saat dikalikan harus 3:

• A x b = 3

Dan mereka juga harus mematuhi fakta bahwa ketika dihasilkan, itu adalah 2, karena tanda -tanda tanda kurung berbeda.

(Jika mereka telah menjadi tanda yang sama, dua angka A dan B harus dicari bahwa ketika ditambahkan mereka memberikan koefisien istilah dengan "x"). Jadi:

• A - b = 2

Angka -angka yang memenuhi kedua kondisi adalah 3 dan 1, sejak:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Angka tertinggi ditempatkan dalam tanda kurung kiri dan faktorisasi tetap sebagai berikut:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Nol dari polinomial adalah nilai x yang membatalkan setiap faktor:

Dapat melayani Anda: bahkan angka

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Pembaca dapat memverifikasi bahwa mengganti nilai -nilai ini dalam trinomial asli, ini dibatalkan.

Latihan lainnya

- Latihan diselesaikan 6

Faktor polinomial berikut: p (x) = x²-1.

Larutan

Tidak selalu perlu menggunakan pelarut. Dalam contoh ini produk yang luar biasa dapat digunakan.

Menulis ulang polinomial sebagai berikut.

Menggunakan produk 1 yang luar biasa, perbedaan kotak, P polinomial (x) dapat menjadi anjak sebagai berikut: p (x) = (x+1) (x-1).

Ini juga menunjukkan bahwa akar p (x) adalah x1 = -1 dan x2 = 1.

- Latihan diselesaikan 7

Faktanya polinomial berikut: q (x) = x³ - 8.

Larutan

Ada produk luar biasa yang mengatakan yang berikut: a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²).

Mengetahui hal ini, Anda dapat menulis ulang q polinomial (x) sebagai berikut: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Sekarang, menggunakan produk terkenal yang dijelaskan, faktorisasi q polinomial (x) adalah q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Faktor Polinomial Kuadrat yang Hilang Yang Muncul pada Langkah Sebelumnya. Tetapi jika diamati, nomor produk yang luar biasa dapat membantu; Oleh karena itu, faktorisasi akhir q (x) diberikan oleh q (x) = (x-2) (x+2) ².

Ini mengatakan bahwa akar q (x) adalah x1 = 2, dan x2 = x3 = 2 adalah akar lain dari q (x), yang diulangi.

- Latihan diselesaikan 8

Factorize r (x) = x² - x - 6.

Larutan

Ketika produk terkenal tidak dapat dideteksi, atau pengalaman yang diperlukan untuk memanipulasi ekspresi tidak tersedia, penggunaan resolvent dilanjutkan. Nilai -nilainya adalah berikut A = 1, B = -1 dan C = -6.

Saat menggantinya dalam rumus itu adalah x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Dari sini ada dua solusi yang berikut ini:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Oleh karena itu, polinomial r (x) dapat anjak piutang sebagai r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Latihan diselesaikan 9

Faktor H (x) = x³ - x² - 2x.

Larutan

Dalam latihan ini Anda dapat mulai dengan mengeluarkan faktor umum X dan diperoleh bahwa h (x) = x (x²-x-2).

Oleh karena itu, itu hanya menjadi faktor polinomial kuadratik. Menggunakan pelarut lagi, akarnya harus:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Oleh karena itu akar polinomial kuadrat adalah x1 = 1 dan x2 = -2.

Kesimpulannya, faktorisasi h (x) polinomial diberikan oleh h (x) = x (x-1) (x+2).

Referensi

1. Baldor. 1977. Aljabar Dasar. Edisi Budaya Venezuela.
2. Akar polinomial. Apa itu dan bagaimana dihitung langkah demi langkah. Pulih dari: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. PRECCCULMENT: Matematika untuk Perhitungan. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.
5. Zill, d. 1984. Aljabar dan Trigonometri. Bukit McGraw.