Pilihan acak dengan atau tanpa penggantian

Itu seleksi acak Ini terdiri dari memilih, secara acak, elemen atau sampel, berdasarkan satu set data atau objek. Dengan penggantian itu berarti mengembalikan elemen ke set asli, dan tanpa penggantian itu berarti tidak kembali.

Dalam kasus pertama, ketika elemen yang dipilih kembali ke himpunan asal, itu tidak dimodifikasi, biarkan membuka kemungkinan bahwa elemen tersebut dipilih lebih dari sekali. Dengan cara ini, ekstraksi tak terbatas dapat dilakukan pada populasi yang sama, bahkan jika itu terdiri dari unsur N, menjadi terbatas.

Tetapi jika pemilihan dilakukan tanpa penggantian, set elemen asli berubah setiap kali beberapa elemen diekstraksi darinya untuk membentuk sampel. Dan elemen yang diekstraksi tidak memiliki kemungkinan dipilih lagi.

Saat populasinya berkurang, jumlah ekstraksi yang dapat dilakukan di dalamnya terbatas.

Jika ukuran populasi n kecil, ada perbedaan yang signifikan antara memilih elemen acak dengan atau tanpa penggantian. Di sisi lain, ketika n sangat besar, perbedaannya jauh lebih rendah, seperti yang akan terlihat nanti.

Seleksi dengan penggantian

Probabilitas bahwa peristiwa X tertentu terjadi adalah rasio antara jumlah kasus yang menguntungkan dan total kasus:

P (x) = kasus yang menguntungkan/total.

Jika populasi terdiri dari n elemen yang berbeda: x₁, X₂, X₃…, Probabilitas memilih elemen x₁ adalah p (x₁) = 1/n.

Karena ada pengganti, ukuran populasi tetap n, maka, kemungkinan memilih elemen x berikutnya₂ adalah p (x₂) = 1/n.

Dan dengan cara yang sama, masing -masing elemen yang tersisa memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih:

Dapat melayani Anda: tingkat polinomial: bagaimana itu ditentukan, contoh dan latihan

P (x_N) = 1/n

Oleh karena itu, menjadi peristiwa independen satu sama lain, probabilitas bersama kejadian adalah produk dari probabilitas masing -masing:

P (x₁, X₂, X₃... X_N) = (1/n) × (1/n) × ... × (1/n)

Seleksi tanpa penggantian

Saat memilih elemen tertentu tanpa penggantian populasi ukuran N, probabilitas bahwa elemen tersebut dipilih adalah:

P (x₁) = 1/n

Setelah ini selesai, n - 1 elemen tetap ada dalam populasi, oleh karena itu, probabilitas memilih yang berikutnya adalah:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Memilih elemen ini, populasi sekarang terdiri dari elemen n - 2, dalam hal ini, probabilitas memilih yang berikut adalah:

P (x₃) = 1/(n - 2)

Dan seterusnya. Probabilitas untuk satu -satunya elemen adalah:

P (x_N) = 1/[n− (n-1)]]

Akhirnya, probabilitas bersama memilih elemen x₁, X₂, X₃... Sebagai bagian dari sampel, itu adalah produk dari masing -masing probabilitas:

P (x₁, X₂, X₃...) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) × ... × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) × ... × [N− (N-1)]

Contoh

Dalam statistik, tindakan memilih sampel adalah percobaan, himpunan hasil yang mungkin adalah ruang sampel dan hasil percobaan merupakan peristiwa.

Contoh 1

Kotak dengan kelereng dengan warna berbeda tersedia: 12 merah, 7 biru dan 5 hijau. Eksperimen ini terdiri dalam mengekstraksi marmer acak tunggal.

Seperti total ada 24 kelereng di dalam kotak, di mana 12 di antaranya berwarna merah, probabilitas untuk mengeluarkan marmer merah, dilambangkan dengan p (r), adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah: adalah:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Setelah ini, Anda ingin mengetahui probabilitas mengekstraksi marmer hijau, yaitu, p (v).

Dapat melayani Anda: jumlah kotak dari dua angka berturut -turut

Probabilitas ini tergantung pada apakah marmer merah yang diekstraksi di tempat pertama kembali ke kotak atau tidak. Jika marmer merah dimasukkan ke dalam kotak dengan yang lain, pilihannya adalah dengan penggantian atau penggantian, dan sebaliknya itu adalah pilihan tanpa penggantian.

Dalam seleksi dengan penggantian, ruang sampel tidak berubah, masih ada 24 kelereng di dalam kotak dan probabilitas mengekstraksi marmer hijau adalah:

P (v) = 5/24 = 0.dua puluh satu

Dan jika marmer merah awal tidak dikembalikan ke kotak, dalam hal ini ada 23 kelereng, dan kemungkinan mengekstraksi hijau harus agak lebih besar:

P (v) = 5/23 = 0.22

Contoh 2

Dalam percobaan lain dengan kotak marmer, Anda ingin menghitung probabilitas bahwa, ketika dua kelereng diekstraksi, yang pertama berwarna merah dan yang berikutnya biru. Anda dapat melanjutkan dengan dua cara:

a) dengan penggantian

Kedua peristiwa itu independen, yaitu, warna marmer yang diekstraksi terlebih dahulu tidak mempengaruhi probabilitas mendapatkan marmer lain dengan warna tertentu.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Tidak ada penggantian

Saat meninggalkan marmer pertama di luar, jika ini merah, probabilitas mengekstraksi biru untuk kedua kalinya sedikit lebih besar:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Contoh 3

Kota memiliki 30.000 penduduk, di antaranya 15 di mana.423 adalah wanita. Anda ingin menghitung probabilitas bahwa, dengan memilih dua penduduk, keduanya adalah wanita.

a) dengan penggantian

Biarkan p (m) menjadi probabilitas bahwa penduduk yang dipilih adalah seorang wanita, lalu:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Dapat melayani Anda: mengapa aljabar penting dalam situasi kehidupan sehari -hari tertentu?

Jadi, probabilitas bahwa orang kedua yang dipilih juga seorang wanita adalah:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Tidak ada penggantian

Jika orang pertama yang dipilih tidak "dikembalikan", maka kemungkinan memilih seorang wanita dalam upaya kedua adalah:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Tidak ada perbedaan yang signifikan dengan kasus sebelumnya. Dan produk 0.51410 × 0.51408 hampir sama dengan 0.2643, pembaca dapat memeriksanya dengan kalkulator.

Olahraga diselesaikan

Sebuah kotak memiliki 5 orang percaya hijau, 2 orang percaya biru dan 3 orang percaya merah, semuanya baru dan identik. Tentukan probabilitas bahwa, dengan mengekstraksi dua orang percaya dari kotak, tidak ada yang merah:

a) dengan penggantian. Apakah acara ini mandiri?

b) tanpa penggantian, menunjukkan apakah peristiwa itu mandiri atau tidak.

Solusi untuk

Ada 10 percaya pada total, 3 di antaranya merah dan 7 tidak. Probabilitas p (r^*) Bahwa yang pertama percaya bukan merah adalah:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Percaya dikembalikan ke kotak dan ekstraksi kedua dibuat, dengan hasil yang sama:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Oleh karena itu, peristiwa ini independen, probabilitas bahwa dalam percobaan ini tidak ada keyakinan adalah:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Solusi b

Probabilitas mendapatkan keyakinan yang tidak merah dalam upaya pertama sama dengan di bagian A). Tetapi dalam ekstraksi kedua, sudah ada 9 orang percaya di dalam kotak, oleh karena itu:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

Dan dalam hal ini, probabilitas mengekstraksi suatu percaya bahwa tidak merah adalah:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Acara tidak mandiri.