Karakteristik segitiga miring, contoh, latihan

Itu Segitiga miring Mereka adalah mereka yang tidak memiliki sudut kanan, oleh karena itu tidak ada sudut internal mereka sama dengan 90º. Jadi, segitiga miring bisa Acutangle atau tumpul.

Dalam kasus pertama, sudut internal segitiga adalah akut atau apa yang sama: kurang dari 90º, sedangkan di yang kedua, selalu ada sudut yang lebih besar dari 90º, yaitu, sudut tumpul. Mari kita lihat contoh masing -masing dalam gambar berikut:

Gambar 1. Segitiga miring: di sebelah kiri segitiga miring dan acutangle. Di sebelah kanan segitiga miring dan tumpul. Sumber: f. Zapata.

Untuk menemukan panjang sisi dan ukuran sudut internal dari segitiga semacam ini, tanpa adanya sudut lurus tidak mungkin untuk menerapkan teorema Pythagoras.

Namun, ada alternatif untuk menyelesaikan segitiga: teorema kosinus dan dada dan fakta bahwa jumlah sudut internal sama dengan 180º.

[TOC]

Contoh segitiga oblicuágulos

Membimbing diri kita dengan Gambar 1, kita dapat dengan mudah mengenali segitiga miring melalui dua kriteria yang akan kita berikan di bawah.

Acutangle Triangle

Jadilah segitiga sisi a, b dan c, dengan α sudut di depan sisi.

Jika kuadrat di sisi yang berlawanan dengan sudut akut α, kurang dari jumlah kotak dari sisi yang tersisa, segitiga adalah acutangle. Secara aljabar:

ke² < b² + C²; α < 90º

Segitiga sama sisi relatif, yang memiliki tiga sisi dari ukuran yang sama, adalah acutangle dan karenanya miring, karena sudut internalnya sama dan mengukur 60º.

Segitiga tumpul

Di sisi lain, jika kuadrat di sisi yang berlawanan ke Pada sudut tumpul α lebih besar dari jumlah kotak dua lainnya, kita berada di hadapan segitiga tumpul. Karena itu:

ke² > b² + C²; α> 90º

Misalnya, segitiga yang sudut internalnya 105º, 60º dan 15º adalah segitiga miring tumpul. Perhatikan bahwa 105º + 60º + 15º = 180º.

Teorema sinus dan kosinus

Untuk menyelesaikan segitiga miring, yaitu, untuk menemukan langkah -langkah dari semua sisi mereka dan semua sudut mereka, teorema payudara dan kosinus diperlukan.

Biarkan a, b dan c sisi segitiga, dan α, β dan γ sudut internal mereka. Jadi:

Teorema payudara

Teorema payudara menetapkan yang berikut:

Di mana α adalah sudut yang berlawanan ke sisi A, β adalah sudut yang bertentangan dengan sisi B dan γ adalah sudut di depan sisi C.

Itu dapat melayani Anda: antiderivatif: rumus dan persamaan, contoh, latihan

Setara:

Kami memilih untuk menerapkan teorema payudara saat kami akan menyelesaikan segitiga daripada lebih banyak sudut yang diketahui daripada sisi.

Teorema Coseno

Menurut Teorema Coseno:

C² = a² + B² - 2⋅a⋅B⋅cos γ

Sekali lagi sudut γ ada di depan sisi C. Kami juga dapat menulis ekspresi yang setara untuk sisi A dan B, sebagai berikut:

ke² = b² + C² - 2⋅b⋅c⋅cos α

DAN

B² = a² + C² - 2⋅a⋅c⋅cos β

Teorema kosinus diterapkan lebih disukai ketika nilai dua sisi dan sudut di antara mereka diketahui. Juga, begitu ketiga sisi segitiga telah diketahui, teorema memungkinkan kita untuk menghitung cosinus sudut di antara keduanya.

Latihan terpecahkan

- Latihan 1

Periksa apakah segitiga yang sisi -sisinya berukuran 20, 10 dan 12 unit sewenang -wenang tumpul.

Larutan

Kami tidak tahu sudut internal mana pun, tetapi menurut kriteria yang berfungsi untuk mengenali segitiga yang tumpul, kami dapat meningkatkan ketidaksetaraan dengan kotak -kotak untuk mengamati jika dipenuhi.

Pertama kami menemukan kotak di setiap sisi:

dua puluh² = 400

10² = 100

12² = 144

Dan kita lihat itu memang: 400> 100 + 144, sejak 400> 244. Oleh karena itu, segitiga berisi sudut yang lebih besar dari 90º, terletak di depan sisi yang berukuran 20. Akibatnya, segitiga ini, selain menjadi miring, juga tumpul.

- Latihan 2

Mengingat segitiga miring yang ditunjukkan pada Gambar 2, yang tindakannya diberikan dalam unit sewenang -wenang, tentukan:

a) nilai x. Apakah itu Acutangle atau Segitiga tumpul?

b) sudut internal yang tersisa dari segitiga

c) Perimeter

d) area.

Gambar 2. 2a) segitiga untuk tahun diselesaikan 2 dan 2b) segitiga yang sama dengan tinggi, yang akan berfungsi untuk menentukan area tersebut. Sumber: f. Zapata.

Solusi untuk

Dari segitiga dua sisi yang berdekatan diketahui, yang langkahnya adalah 38.0 dan 45.8 dan sudut di antara mereka, yaitu 30º, oleh karena itu teorema kosinus segera diterapkan:

X² = 38.0² + Empat. Lima.8² - 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Karena itu:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

Gambar menunjukkan bahwa α> 90º dan segitiga itu tumpul, selain miring. Untuk memeriksanya, kami menemukan kotak sisi, seperti yang dilakukan dalam latihan sebelumnya:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

Empat. Lima.8² = 2097.64

Sudut α lebih besar dari 90º jika itu benar daripada kuadrat dari sisi yang berlawanan: 45.8²  Itu lebih besar dari jumlah kotak sisi lain, yaitu 22.96² + 38.0².

Dapat melayani Anda: hukum eksponen

Mari kita lihat apakah itu terjadi:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

Memang:

2097.64> 1971.2

Oleh karena itu sudut α lebih besar dari 90º.

Solusi b

Sekarang kita bisa menerapkan teorema payudara untuk menemukan salah satu sudut yang hilang. Kami akan menaikkannya untuk Angle β:

Sen 30º / 22.96 = sin β / 38

Sen β = 38 x (sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = arcsen (0.8275) = 55.84º

Sudut yang hilang dapat ditemukan mengetahui bahwa jumlah sudut internal segitiga adalah 180º. Karena itu:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Jika lebih disukai, Anda juga dapat menggunakan teorema kosinus untuk menemukan cosinus dari sudut yang ada di antara dua sisi yang berdekatan. Setelah fungsi busur coseno digunakan untuk menentukan sudut.

Hasilnya mungkin sedikit berbeda dalam desimal, menurut pembulatan yang dilakukan.

Solusi c

Perimeter P adalah kontur gambar, setara dengan jumlah ukuran ketiga sisi:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 unit sewenang -wenang.

Solusi d

Rumus untuk menghitung luas segitiga adalah:

A = (1/2) x Basis x Tinggi

Kita perlu memilih salah satu sisi sebagai alas dan menentukan ketinggian. Misalnya, memilih sisi yang berukuran 45.8, kami menarik tinggi badannya H sampai vertex A, yang merupakan garis merah pada Gambar 2b.

Dengan melakukan ini, kami membagi segitiga asli menjadi dua persegi panjang, keduanya dengan H Sebagai cateto umum. Salah satu dari mereka melayani, karena kita tahu sisi dan sudut yang tajam.

Kita akan mengambil orang yang memiliki hypotenusa sama dengan 38, kategori yang mengukur H, yang merupakan ketinggian yang dicari dan sudut akut sama dengan 30º.

Dengan bantuan alasan trigonometri sudut akut 30º kami menentukan nilai dari H:

SEN 30º = Cateto berlawanan dengan 30º / hypotenusa = H / 38

H = 38 x sen 30º = 19

Karena itu:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 area yang sewenang -wenang di area.

Kita bisa memilih sisi lain sebagai alas, misalnya sisi 38, dalam hal ini, ketinggian H Berbeda, karena segitiga persegi panjang lain terbentuk, tetapi hasil area tersebut sama. Tetap sebagai latihan bagi pembaca untuk memeriksanya.

- Latihan 3

Diberikan segitiga ABC bahwa A = 45º, B = 60º dan A = 12 cm, Hitung Data Segitiga Lainnya.

Dapat melayani Anda: tanda -tanda pengelompokan

Larutan

Menggunakan itu jumlah sudut internal segitiga sama dengan 180º, ia harus:

C = 180º-45º-60º = 75º.

Tiga sudutnya sudah diketahui. Kemudian kami melanjutkan untuk menggunakan hukum payudara untuk menghitung kedua sisi yang hilang.

Persamaan yang muncul adalah 12 / tanpa (45º) = b / tanpa (60º) = C / tanpa (75º).

Dari kesetaraan pertama Anda dapat menghapus "B" dan mendapatkannya:

b = 12*tanpa (60º)/tanpa (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Anda juga dapat menghapus "C" dan mendapatkannya:

C = 12*sin (75º)/sin (45º) = 6 (1+√3) ≈ 16.392cm.

- Latihan 4

Mengingat segitiga ABC sedemikian rupa sehingga A = 60º, C = 75º dan B = 10cm, Hitung Data Segitiga Lainnya.

Larutan

Seperti pada tahun sebelumnya Anda harus b = 180º-60º-75º = 45º. Selain itu, menggunakan hukum payudara Anda harus / tanpa (60º) = 10 / tanpa (45º) = C / tanpa (75º), di mana diperoleh bahwa a = 10*tanpa (60º) / tanpa (45º) = 5 √6 ≈ 12.247 cm dan c = 10*sin (75º)/tanpa (45º) = 5 (1+√3) ≈ 13.660 cm.

- Latihan 5

Mengingat segitiga ABC sedemikian rupa sehingga a = 10cm, b = 15cm dan c = 80º, hitung data segitiga lainnya.

Larutan

Dalam latihan ini, hanya sudut yang diketahui, oleh karena itu tidak mungkin untuk memulai seperti yang dilakukan dalam dua latihan sebelumnya. Selain itu, hukum payudara tidak dapat diterapkan karena tidak ada persamaan yang dapat diselesaikan.

Oleh karena itu, hukum cosenos diterapkan. Kamu harus:

C² = 10²+15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300*0.173 ≈ 272.905 cm,

Sehingga C ≈ 16.51 cm. Sekarang, mengetahui 3 sisi, hukum payudara digunakan dan diperoleh itu:

10 / tanpa (a) = 15 / tanpa (b) = 16.51cm /tanpa (80º).

Dari sini, ketika jelas B tanpa (b) = 15*tanpa (80º)/ 16.51 ≈ 0.894, yang menyiratkan bahwa B ≈ 63.38º.

Sekarang, dapat diperoleh bahwa A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

- Latihan 6

Sisi segitiga miring adalah A = 5cm, b = 3cm dan c = 7cm. Hitung sudut segitiga.

Larutan

Sekali lagi, hukum payudara tidak dapat diterapkan secara langsung, karena tidak ada persamaan yang akan berfungsi untuk mendapatkan nilai sudut.

Menggunakan hukum kosinus Anda harus c² = a² + b² - 2ab cos (c), dari mana ketika cos (c) = (a² + b² - c²)/ 2ab = (5² + 3² -7²)/ 2*5 *3 = -15/30 = -1/2 dan karenanya c = 120º.

Sekarang hukum payudara dapat diterapkan dan dengan demikian memperoleh 5/tanpa (a) = 3/tanpa (b) = 7/tanpa (120º), di mana B dapat dibersihkan B dan mendapatkannya tanpa (b) = 3* tanpa (120º )/7 = 0.371, jadi b = 21.79º.

Akhirnya sudut terakhir dihitung dengan menggunakan A = 180º-130º-21.79º = 38.21.

Referensi

1. Clemens, s. Geometri dengan aplikasi. Addison Wesley.
2. Ibáñez, hlm. 2010. Matematika III. Pembelajaran Cengage.
3. Jiménez, r. Matematika II: Geometri dan Trigonometri. 2nd. Edisi. Pearson.
4. Matematika untuk Anda. Segitiga tumpul. Pulih dari: matematika untuk.WordPress.com.
5. Stewart, J. 2007. Prekalkulasi. Ke -5. Edisi. Pembelajaran Cengage.