Perhitungan normal dan vektor contoh

Dia Vektor normal Ini adalah salah satu yang mendefinisikan arah tegak lurus terhadap entitas geometris yang sedang dipertimbangkan, yang dapat untuk kurva, bidang atau permukaan, misalnya.

Ini adalah konsep yang sangat berguna dalam posisi partikel seluler atau permukaan di luar angkasa. Dalam grafik berikut dimungkinkan untuk melihat bagaimana vektor normal ke kurva sewenang -wenang C:

Gambar 1. Kurva C dengan vektor normal ke kurva pada titik p. Sumber: SVJO [CC BY-SA 3.0 (https: // createveCommons.Org/lisensi/by-sa/3.0)]

Pertimbangkan titik p pada kurva c. Titik ini dapat mewakili partikel seluler yang bergerak mengikuti jalan berbentuk C. Garis garis singgung ke kurva pada titik p muncul ditarik merah.

Perhatikan bahwa vektor T Itu bersinggungan untuk C di setiap titik, sedangkan vektor N tegak lurus terhadap T dan menunjuk ke pusat keliling imajiner yang busurnya merupakan segmen C. Vektor dilambangkan dalam huruf tebal dalam teks cetak, untuk membedakannya dari magnitudo non -vektor lainnya.

Vektor T Itu selalu menunjukkan di mana partikel bergerak, oleh karena itu menunjukkan kecepatan yang sama. Sebaliknya vektor N Selalu titik ke arah di mana partikel berputar, dengan cara ini menunjukkan concavity dari kurva C.

[TOC]

Cara mendapatkan vektor normal ke pesawat?

Vektor normal belum tentu merupakan vektor unit, yaitu vektor yang modulnya adalah 1, tetapi jika demikian, itu disebut vektor unit normal.

Gambar 2. Di sebelah kiri pesawat P dan dua vektor normal untuk pesawat tersebut. Di sebelah kanan vektor unit di tiga arah yang menentukan ruang. Sumber: Wikimedia Commons. Lihat halaman untuk penulis [domain publik]

Dalam berbagai aplikasi perlu mengetahui vektor normal ke pesawat alih -alih kurva. Vektor ini mengumumkan orientasi pesawat tersebut di luar angkasa. Misalnya, pertimbangkan pesawat P (kuning) dari gambar:

Itu dapat melayani Anda: Gemine: Origins, karakteristik dan cara mengamatinya

Ada dua vektor normal untuk bidang itu: N₁ Dan N₂. Penggunaan satu atau yang lain akan tergantung pada konteks di mana pesawat tersebut ditemukan. Memperoleh vektor normal ke bidang sangat sederhana jika persamaannya diketahui:

kapak + oleh + cz + d = 0, dengan ke, B, C Dan D bilangan real.

Nah, vektor bidang normal diberikan oleh:

N = a yo + B J + C k

Di sini vektor N dinyatakan dalam hal vektor unit dan tegak lurus satu sama lain yo, J Dan k, diarahkan ke tiga arah yang menentukan ruang X dan z, Lihat Gambar 2 Benar.

Vektor normal dari produk vektor

Prosedur yang sangat sederhana untuk menemukan vektor normal memanfaatkan sifat -sifat produk vektor antara dua vektor.

Seperti diketahui, tiga titik berbeda dan bukan colineal satu sama lain, tentukan bidang P. Sekarang, dimungkinkan untuk mendapatkan dua vektor atau Dan v itu milik pesawat tersebut memiliki tiga poin ini.

Setelah vektor, Produk vektor atau X v Ini adalah operasi yang hasilnya adalah vektor, yang memiliki sifat tegak lurus terhadap bidang yang ditentukan oleh atau Dan v.

Diketahui vektor ini, dilambangkan sebagai N, Dan dari itu akan dimungkinkan untuk menentukan persamaan pesawat berkat persamaan yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya:

N = atau X v

Gambar berikut menggambarkan prosedur yang dijelaskan:

Gambar 3. Dengan dua vektor dan vektor atau produk silang mereka, persamaan bidang yang mengandung dua vektor ditentukan. Sumber: Wikimedia Commons. Tidak ada penulis yang dapat dibaca mesin. M.Romero Schmidtke diasumsikan (berdasarkan klaim hak cipta). [Area publik]

Contoh

Temukan persamaan bidang yang ditentukan oleh titik A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).

Dapat melayani Anda: persamaan kontinuitas

Larutan

Latihan ini menggambarkan prosedur yang dijelaskan di atas. Dengan memiliki 3 poin, salah satunya dipilih sebagai asal umum dari dua vektor yang termasuk dalam bidang yang ditentukan oleh titik -titik ini. Misalnya, titik A ditetapkan sebagai asal dan vektor dibangun AB Dan Ac.

Vektor AB Itu adalah vektor yang asalnya adalah titik A dan yang akhir adalah titik b. Koordinat Vektor AB Koordinat b dari koordinat a:

AB = (0-2) yo + (1-1) J + (1-3) k = -2yo + 0J -2 k

Lanjutkan dengan cara yang sama untuk menemukan vektor Ac:

Ac = (4-2) yo + (2-1) J + (1-3) k = 2yo + J -2 k

Perhitungan Produk Vektor AB X AC

Ada beberapa prosedur untuk menemukan produk vektor antara dua vektor. Dalam contoh ini, prosedur mnemonik digunakan yang memanfaatkan angka berikut untuk menemukan produk vektor di antara vektor unit yo, J Dan K:

Gambar 4. Grafik untuk menentukan produk vektor antara vektor unit. Sumber: Made sendiri.

Untuk memulainya, baik untuk mengingat bahwa produk vektor antara vektor paralel batal, oleh karena itu: oleh karena itu:

yo X yo = 0; J X J = 0; k X k = 0

Dan karena produk vektor adalah vektor lain yang tegak lurus terhadap vektor yang berpartisipasi, bergerak ke arah panah merah yang Anda miliki:

yo X J = k ; J X k = yo; k X yo = J

Jika Anda harus bergerak bertentangan ke panah maka tanda (-) ditambahkan:

J X yo = - k; k X J = -yo; yo X k = -J

Total dimungkinkan untuk membuat 9 produk vektor dengan vektor unit yo, J Dan k, di mana 3 akan batal.

AB X Ac = (-2yo + 0J -2 k) X (2yo + J -2 k) = -4 (yo X yo) -2 (yo X J) +4 (yo X k) +0 (J X yo) + 0 (J X J) - 0 (J X k) - 4 (k X yo) -2 (k X J) + 4 (k X k) = -2k-4J-4J+2yo = 2yo -8J-2k

Persamaan Pesawat

Vektor N telah ditentukan oleh produk vektor yang sebelumnya dihitung:

Dapat melayani Anda: gerakan pendular

N = 2yo -8J-2k

Oleh karena itu a = 2, b = -8, c = -2, rencana yang dicari adalah:

AX + BY + CZ + D = 0 → 2x-8Y-2Z + D = 0

Nilai dari D. Ini mudah jika nilai dari salah satu titik A, B atau C di antaranya tersedia diganti dalam persamaan pesawat. Memilih C misalnya:

x = 4; y = 2; Z = 1

Tersisa:

2.4 - 8.2 - 2.1 + d = 0

-10 + d = 0

D = 10

Singkatnya, pesawat yang diinginkan adalah:

2x-8y-2z +10 = 0

Pembaca yang ingin tahu mungkin bertanya apakah hasil yang sama akan diperoleh jika alih -alih melakukan AB X Ac Itu akan dipilih Ac X AB. Jawabannya adalah ya, pesawat yang ditentukan oleh ketiga titik ini unik dan memiliki dua vektor normal, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Adapun titik yang dipilih sebagai asal vektor, juga tidak ada ketidaknyamanan dalam memilih salah satu dari dua lainnya.

Referensi

1. Figueroa, d. (2005). Seri: Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Kinematika. Diedit oleh Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Menemukan yang normal ke pesawat. Diperoleh dari: web.ma.Utexas.Edu.
3. Larson, r. (1986). Perhitungan dan geometri analitik. MC Graw Hill. 616 - 647.
4. Baris dan rencana dalam r 3. Pulih dari: matematika.Harvard.Edu.
5. Vektor normal. Pulih dari MathWorld.Wolfram.com.