Demonstrasi Acara Independen, Contoh, Latihan

Dua acara independen, Ketika probabilitas bahwa salah satu dari mereka akan terjadi tidak dipengaruhi oleh fakta bahwa yang lain terjadi -atau tidak terjadi -mempertimbangkan bahwa peristiwa ini terjadi secara acak.

Keadaan ini selalu diberikan bahwa proses yang dihasilkan oleh hasil dari peristiwa 1, tidak mengubah dengan cara apa pun probabilitas hasil yang mungkin dari peristiwa 2. Tetapi jika ini bukan masalahnya, dikatakan bahwa peristiwa itu tergantung.

Gambar 1. Kelereng berwarna sering digunakan untuk menjelaskan probabilitas peristiwa independen. Sumber: Pixabay.

Situasi peristiwa independen adalah sebagai berikut: Misalkan dua dadu dari enam sisi dilemparkan, satu biru dan merah muda lainnya. Probabilitas 1 dalam dadu biru tidak tergantung pada probabilitas bahwa 1 -atau tidak keluar - dalam dadu merah muda.

Kasus lain dari dua acara independen adalah meluncurkan koin dua kali berturut -turut. Hasil peluncuran pertama tidak akan tergantung pada hasil yang kedua dan sebaliknya.

[TOC]

Demonstrasi dua acara independen

Untuk memverifikasi bahwa dua peristiwa itu independen, kami akan mendefinisikan konsep probabilitas yang dikondisikan dari satu peristiwa sehubungan dengan yang lain. Untuk ini perlu untuk membedakan antara acara eksklusif dan acara inklusif:

Dua peristiwa eksklusif jika kemungkinan nilai atau elemen peristiwa A, tidak memiliki kesamaan dengan nilai atau elemen peristiwa b.

Oleh karena itu dalam dua acara eksklusif, himpunan persimpangan A dengan B adalah kekosongan:

Acara Eksklusif: A∩B = Ø

Sebaliknya, jika peristiwa itu inklusif, dapat terjadi bahwa satu hasil dari peristiwa A juga bertepatan dengan yang lain, menjadi A dan B peristiwa yang berbeda. Pada kasus ini:

Acara Inklusif: A∩B ≠ Ø

Ini mengarahkan kita untuk menentukan probabilitas terkondisikan dari dua peristiwa inklusif, dengan kata lain, probabilitas kejadian peristiwa A, asalkan peristiwa B terjadi:

P (a¦b) = p (a∩b)/p (b)

Oleh karena itu, probabilitas yang dikondisikan adalah probabilitas yang terjadi pada dan b dibagi dengan probabilitas yang terjadi b. Probabilitas yang didasarkan pada:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Kriteria untuk mengetahui apakah dua peristiwa itu mandiri

Selanjutnya kami akan memberikan tiga kriteria untuk mengetahui apakah dua peristiwa itu mandiri. Sudah cukup bahwa salah satu dari ketiganya terpenuhi, sehingga kemandirian peristiwa ditunjukkan.

1.- Jika probabilitas yang akan terjadi selama B sama dengan probabilitas A, maka ini adalah peristiwa independen:

Itu dapat melayani Anda: properti aljabar kunci: demonstrasi, contoh

P (a¦b) = p (a) => a independen dari b

2.- Jika probabilitas yang terjadi B diberikan, sama dengan probabilitas B, maka mereka memiliki peristiwa independen:

P (b¦a) = p (b) => b tidak tergantung pada a

3.- Jika probabilitas yang terjadi pada dan B, sama dengan produk dari probabilitas yang terjadi untuk probabilitas yang terjadi B, maka ini adalah peristiwa independen. Timbal balik juga benar.

P (a∩b) = p (a) p (b) a dan b adalah peristiwa independen.

Contoh acara independen

Sol karet yang diproduksi oleh dua pemasok yang berbeda dibandingkan. Sampel masing -masing produsen menjadi sasaran beberapa uji coba dari mana mereka disimpulkan apakah mereka berada dalam spesifikasi atau tidak. 

Gambar 2. Berbagai sol karet. Sumber: Pixabay.

Ringkasan yang dihasilkan dari 252 sampel adalah sebagai berikut:

Produsen 1; 160 memenuhi spesifikasi; 8 Jangan memenuhi spesifikasi.

Produsen 2; 80 memang memenuhi spesifikasi; 4 Jangan memenuhi spesifikasi.

Acara A: "Sampel dari Produsen 1".

Acara B: "Bahwa sampel memenuhi spesifikasi".

Diinginkan untuk mengetahui apakah peristiwa A dan B ini tidak mandiri atau tidak, di mana kami menerapkan salah satu dari tiga kriteria yang disebutkan di bagian sebelumnya.

Kriteria: p (bped) = p (b) => b tidak tergantung pada a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Kesimpulan: Acara A dan B independen.

Misalkan acara C: "Bahwa pertunjukan berasal dari produsen 2"

Apakah itu akan menjadi peristiwa b independen dari acara c?

Kami menerapkan salah satu kriteria.

Kriteria: p (b¦c) = p (b) => b tidak tergantung pada c

P (b¦c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = p (b)

Oleh karena itu, menurut data yang tersedia, probabilitas bahwa sol karet yang dipilih secara acak memenuhi spesifikasi, tidak tergantung pada produsen. 

Mengubah peristiwa independen menjadi dependen

Mari kita lihat contoh berikut untuk membedakan antara peristiwa tanggungan e mandiri. 

Kami memiliki tas dengan dua bola cokelat putih dan dua bola hitam. Probabilitas mendapatkan bola putih atau hitam adalah sama dalam upaya pertama.

Misalkan hasilnya adalah bola putih. Jika bola yang diekstraksi diisi ulang di dalam tas, situasi aslinya diulangi: dua bola putih dan dua bola hitam.

Jadi dalam acara atau ekstraksi kedua, kemungkinan untuk mengeluarkan bola putih atau bola hitam identik dengan yang pertama kali. Oleh karena itu adalah acara independen.

Tetapi jika bola putih tidak diisi ulang di acara pertama karena kami telah memakannya, dalam ekstraksi kedua ada kemungkinan lebih besar untuk mendapatkan bola hitam. Probabilitas bahwa dalam ekstraksi kedua diperoleh lagi putih, berbeda dari peristiwa pertama dan dikondisikan oleh hasil sebelumnya.

Dapat melayani Anda: Segitiga Scaleno

Latihan

- Latihan 1

Dalam sebuah kotak kami menempatkan 10 kelereng pada Gambar 1, yang 2 di antaranya berwarna hijau, 4 biru dan 4 putih. Mereka akan memilih dua kelereng acak, satu pertama dan satu setelah. Itu diminta untuk menemukan
Probabilitas bahwa tidak satu pun dari mereka berwarna biru, dalam kondisi berikut:

a) dengan penggantian, yaitu, kembali ke kotak marmer pertama sebelum seleksi kedua. Menunjukkan apakah itu peristiwa independen atau tergantung.

b) tanpa penggantian, sehingga marmer pertama diekstraksi, berada di luar kotak pada saat membuat pilihan kedua. Demikian pula, tunjukkan apakah mereka adalah peristiwa tergantung atau independen.

Solusi untuk

Kami menghitung probabilitas bahwa marmer pertama yang diekstraksi bukan biru, yang kurang dari probabilitas bahwa wol biru p (a), atau secara langsung tidak biru, karena keluar hijau atau putih:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (tidak ada biru) = 1 - (2/5) = 3/5

O Nah:

P (hijau atau putih) = 6/10 = 3/5.

Jika marmer dikembalikan, semuanya lagi seperti sebelumnya. Dalam ekstraksi kedua ini ada juga probabilitas 3/5 bahwa marmer yang diekstraksi tidak biru.

P (tidak ada biru, tidak biru) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Peristiwa ini independen, karena marmer yang diekstraksi kembali ke kotak dan peristiwa pertama tidak mempengaruhi probabilitas kejadian yang kedua.

Solusi b

Untuk ekstraksi pertama, hal yang sama dilanjutkan di bagian sebelumnya. Probabilitas bahwa itu bukan biru 3/5.

Untuk ekstraksi kedua kami memiliki 9 kelereng di dalam tas, karena yang pertama tidak kembali, tetapi tidak biru, oleh karena itu 9 kelereng dan 5 non -blue ditinggalkan di dalam tas:

P (hijau atau putih) = 5/9.

P (None Be Blue) = p (pertama tidak ada biru). P (non -blue kedua /pertama bukan biru) = (3/5) . (5/9) = 1/3

Dalam hal ini bukan tentang peristiwa independen, karena kondisi acara pertama yang kedua.

- Latihan 2

Sebuah toko memiliki 15 kemeja dalam tiga ukuran: 3 kecil, 6 sedang dan 6 besar. 2 kemeja dipilih secara acak.

a) Probabilitas apa yang kedua kemeja terpilih itu kecil, jika seseorang pertama kali dilepas dan tanpa mengganti lot lainnya?

b) Kemungkinan besar, kedua kemeja terpilih itu kecil, jika satu pertama kali dilepas, yang kedua diganti dan yang kedua dilepas?

Itu dapat melayani Anda: fungsi variabel nyata nyata dan representasi grafisnya

Solusi untuk

Berikut dua acara:

Acara A: Kemeja yang dipilih pertama kali kecil

Acara B: Kemeja terpilih kedua kecil

Probabilitas acara A adalah: p (a) = 3/15

Probabilitas yang berasal dari peristiwa B adalah: p (b) = 2/14, karena kemeja sudah diekstraksi (14), tetapi juga ingin memenuhi acara tersebut dengan kemeja pertama yang diekstraksi harus kecil dan di sana ada 2 kecil.

Dengan kata lain, probabilitas A dan B akan menjadi produk probabilitas adalah:

P (a dan b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Oleh karena itu, probabilitas menjadi peristiwa A dan B sama dengan produk yang dimaksud dengan peristiwa tersebut, karena probabilitas peristiwa B jika peristiwa tersebut diberikan.

Perlu dicatat bahwa:

P (b¦a) = 2/14

Probabilitas yang merupakan peristiwa B terlepas dari apakah peristiwa tersebut diberikan atau tidak:

P (b) = (2/14) Jika yang pertama kecil, atau p (b) = 3/14 jika yang pertama tidak kecil.

Secara umum, berikut ini dapat disimpulkan:

P (bped) tidak sama dengan p (b) => b tidak independen dari a

Solusi b

Ada dua acara lagi:

Acara A: Kemeja yang dipilih pertama kali kecil

Acara B: Kemeja terpilih kedua kecil

P (a) = 3/15

Ingat apa hasilnya, kemeja diganti dari tempat parkir dan sekali lagi menghilangkan kemeja. Probabilitas yang merupakan peristiwa B, jika acara A diberikan:

P (b¦a) = 3/15

Probabilitas bahwa peristiwa akan diberikan A dan B akan menjadi:

P (a dan b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Perhatikan bahwa: 

P (b¦a) sama dengan p (b) => b tidak tergantung pada a.

- Latihan 3

Pertimbangkan dua acara independen a dan b. Diketahui bahwa probabilitas bahwa peristiwa terjadi adalah 0,2 dan probabilitas bahwa peristiwa B terjadi adalah 0,3. Apa yang akan menjadi probabilitas bahwa kedua peristiwa itu terjadi?

Solusi 2

Mengetahui bahwa peristiwa itu independen, diketahui bahwa probabilitas bahwa kedua peristiwa itu terjadi adalah produk dari probabilitas individu. Artinya,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Perhatikan bahwa itu adalah probabilitas yang jauh lebih rendah daripada probabilitas bahwa setiap peristiwa terjadi terlepas dari hasil yang lain. Atau dengan kata lain, jauh lebih sedikit daripada probabilitas individu.

Referensi

1. Berenson, m. 1985. Statistik untuk Administrasi dan Ekonomi. Inter -American s.KE. 126-127.
2. Institut Monterrey. Probabilitas Acara Independen. Pulih dari: monterreyinstitute.org
3. Profesor Mats. Acara Independen. Dipulihkan dari: YouTube.com
4. Superprof. Jenis acara, acara tergantung. Pulih dari: superprof.adalah
5. Tutor virtual. Kemungkinan. Diperoleh dari: Vitutor.bersih
6. Wikipedia. Kemandirian (probabilitas). Pulih dari: wikipedia.com